Статически неопределимые стержневые системы

Основные понятия и определения

Статически неопределимыми называются системы, для которых внешние реакции и внутренние силовые факто-ры не могут быть определены только из уравнений равнове-сия. В таких системах связей больше, чем необходимо для обеспечения равновесия конструкции. Таким образом, часть связей в этом смысле являются как бы лишними, а усилия в них – лишними неизвестными. По числу лишних связей Λ устанавливают степень статической неопределимости С

С = Λ.

Остановимся подробнее на этом вопросе, причём основ-ное внимание уделим балкам и плоским рамам, у которых все стержни и действующая нагрузка лежат в одной плоскости.

Плоская система обладает тремя степенями свободы. Следовательно, на неё необходимо наложить, как минимум, три связи, чтобы она не могла перемещаться как жёсткое це-лое. Эти три связи называются необходимыми. Удаление хотя бы одной из таких связей превращает систему в геометриче-ски изменяемую (механизм), т. е. в такую систему, в которой перемещения её точек или элементов возможны без дефор-мации стержней. Реакции необходимых связей могу быть найдены с помощью уравнений равновесия.

Всякую связь, наложенную сверх необходимых, назы-вают лишней. При удалении лишней связи система остаётся геометрически неизменяемой, т. е. такой, в которой переме-щения точек или элементов возможны только за счёт дефор-мации стержней.

На рис. 11.1, а показана двухопорная балка – система статически определимая и геометрически неизменяемая. Все три реакции R_A, H_A, R_B определяются из трёх уравнений рав-новесия плоской системы сил. Используя метод сечений, лег-ко найти силовые факторы Q_y, M_x в любом сечении балки.

Добавив ещё одну связь, например шарнирно-подвиж-ную опору в сечении С (рис. 11.1, б), получаем один раз ста-тически неопределимую систему.

Рис. 11.1

На рис. 11.2, а показана дважды статически неопредели-мая балка, полученная из статически определимой системы (рис. 11.2, б) в результате установки двух шарнирно-по-движных опор в сечениях В и С.

Рис. 11.2

На рис. 11.3 показана дважды статически неопределимая плоская рама. В этом случае для определения пяти реакций внешних связей имеем только три уравнения равновесия.

Таким образом, степень статической неопределимости С можно найти как разность между числом неизвестных усилий N и числом независи-мых уравнений равновесия Y:

Рис. 11.3 С = N – Y. (11.1)

Статическая неопределимость может быть результатом не только введения дополнительных связей, но также и усло-вием образования системы. Примером может служить рама, изображённая на рис. 11.4, а, в которой реакции опор R_A, H_A, R_B определяются из трёх уравнений равновесия, но послед-ние не позволяют найти все силовые факторы в её элементах. Разрежем раму на две части и рассмотрим равновесие одной из них (рис.11.4, б). Действие отброшенной части заменяем в каждом сечении разреза тремя силовыми факторами: про-дольной силой N, поперечной силой Q_y и изгибающим мо-ментом М_х. Таким образом, из трёх уравнений равновесия надлежит определить шесть неизвестных усилий, т. е.

С = 6–3 =3.

Рис. 11.4

Рассмотренная рама трижды статически неопределима за счёт наличия одного замкнутого контура, который имеет три лишние внутренние связи.

Обобщая, можно сказать, что замкнутый плоский бес-шарнирный контур трижды статически неопределим.

Установка шарнира на оси стержня (одиночный шарнир) (рис. 11.5, а) снимает одну внутреннюю угловую связь, об-ращая в нуль изгибающий момент в данном сечении, и сле-довательно, снижает степень статической неопределимости

на единицу. Очевидно, что рама, показанная на рис. 11.5, а, пять раз статически неопределима (три раза внешним обра-зом, два – внутренним).

Шарнир, включённый в узел (общий шарнир), где схо-дятся m стержней (рис. 11.5, б), снижает степень статической неопределимости на (m–1), так как заменяет собой столько же одиночных шарниров (см. рис. 11.5, в).

Степень статической неопределимости плоских систем может быть определена по формуле

С 3k −ш , (11.2)

где k – число замкнутых контуров в предположении полного отсутствия шарниров;

ш – число шарниров в пересчёте на одиночные.

Основание (земля) рассматривается как стержень бесконеч-ной жёсткости.

Рис. 11.5

Так, например, рама, показанная на рис. 11.4, имеет k = 3, ш = 1+2+1+1+1 = 6, следовательно, С = 33 – 6 = 3.