Принцип возможных перемещений. Интеграл Мора

Известный из курса теоретической механики принцип возможных перемещений Лагранжа применительно к деформируемым системам можно сформулировать следующим образом: если система под действием приложенных нагрузок находится в равновесии, то сумма работ внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях точек системы равны нулю:

W W_в 0. (10.8)

i

Здесь W F∆_Fi – работа внешних обобщённых сил F_i

на их возможных обобщённых перемещениях ∆_Fi; W_в – работа внутренних сил.

Внутренние силы препятствуют возникновению деформаций от нагрузки, поэтому работу этих сил следует считать отрицательной. Возможными называют перемещения, которые не противоречат наложенным на систему связям, т. е. учитывают условия закрепления конструкции.

Возможные перемещения добавляются к действитель-ным, возникающим от приложенных нагрузок. При этом ра-бота внутренних сил системы на этих дополнительных воз-можных перемещениях будет равна

^{−Wв }^{Mкd}^{Mxdθx }^{Mydθy }l l l

^^{N∆dz }^{kxQxdsx }^{kyQydsy. (10.9)} l l

Силы в процессе бесконечно малого изменения переме-щений считаются неизменными, поэтому множитель 1/2 в выражении работ отсутствует.

Для нахождения перемещений в произвольной точке конструкции поступим следующим образом. Рассмотрим два состояния нашей системы: первое состояние, которое возни-кает от действия приложенных нагрузок, будем называть гру-зовым, все относящиеся к нему величины – внутренние сило-вые факторы и соответствующие им обобщённые перемеще-ния – пометим индексом «F». Второе состояние будет вызываться фиктивной обобщённой силой F =1 (при нахож-дении углового перемещения в роли такой силы будет вы-ступать единичный безразмерный момент). Это состояние будем называть единичным. Все величины, относящиеся к единичному состоянию, пометим индексом «1».

Сформулируем принцип возможных перемещений для системы, находящейся в единичном состоянии, т. е. на-гружённой фиктивной единичной силой в той точке, где нас интересует перемещение. При этом в качестве возможных перемещений возьмём обобщённые перемещения грузового состояния – т.е. действительные перемещения системы, воз-никшие от приложенных к ней нагрузок. Эти перемещения хотя и не являются бесконечно малыми, как того требует принцип Лангранжа, но по сравнению с размерами конструк-ции они малы и удовлетворяют условиям закрепления. В со-ответствии с (10.1) работа фиктивной единичной силы будет равна искомому перемещению

к

к

G

F

EA

EI

ds



;

EI

ds

 .

W F∆_1F 1∆_1F ∆_1F (10.10) Обобщённые перемещения грузового состояния систе-

мы, входящие в выражение (10.9), имеют вид

dM Idz ;	∆dz NFdz ;
dθx MFхdz ; x	QFxds x GA	(10.11)
dθy MFydz ; y	QFyds y GA

Умножая внутренние усилия от единичной нагрузки на соответствующие обобщённые перемещения (10.11) и ин-тегрируя по длине всех стержней конструкции, запишем (10.8) следующим образом:

1

1к 1

M

M M

y

x

  

∆_1F l ^M_GIк ^Fк l ^M_EIx ^Fx l ^M_EIy ^Fy dz 

1 1

GA

GA

EA

^^N1^NF ^{dz }kyQ xQFx ^{dz }kyQ yQFy ^{dz. (10.12)} l l l

Полученное выражение называется интегралом Мора. Оно может быть использовано для определения перемещений в любых произвольно нагруженных упругих стержневых сис-темах. Как говорилось ранее, не все интегралы в правой части (10.12) имеют одинаковый порядок величины. При на-личии в поперечных сечениях стержней изгибающих и кру-тящего моментов последние три слагаемые можно не учитывать.

В случае простых видов нагружения интеграл Мора записывается проще. Например, для системы, работающей на растяжении и сжатие, перемещение определяется так

1

EA

^{∆i }^N i^NF ^{dz. (10.13)} l

Выражение (10.13) нужно понимать как сумму интегра-лов по длине каждого из стержней системы. Здесь ∆_i – пере-мещение точки приложения единичной фиктивной силы

F_i = 1 в направлении этой силы; N_1i – нормальные силы в стержнях от действия единичной силы; N_F – нормальные силы в стержнях системы в грузовом состоянии, т. е. от дей-ствия различных нагрузок.

При кручении перемещения представляют собой углы закручивания

GI

^{i ∆i }^M1к^MFк ^{dz. (10.14)} l ^к

В качестве обобщённых фиктивных сил в этом случае

выступают единичные скручивающие моменты М_i = 1, по-очерёдно прикладываемые в тех сечениях, где требуется най-ти угловое перемещение.

При плоском изгибе перемещения с достаточной точно-стью можно найти, учитывая в выражении (10.12) только из-гибающий момент:

EI

^{∆i }^M1x^MFx ^{dz (10.15)} l ^x

Индексы «F» в обозначении изгибающих моментов от нагрузки, так же как и индекс «х» для обозначения момен-тов единичного состояния, обычно опускают. Для определе-ния прогиба в интересующей точке прикладывают сосредо-

точенную силу F_i = 1, для нахождения угла поворота при-

кладывают сосредоточенный момент М _i = 1. Если имеется несколько силовых участков, на каждом из которых уравне-ния изгибающих моментов М_1i(z) и (или) М_х(z) имеют раз-личный вид, интегрирование ведётся по каждому из участков отдельно, а результаты алгебраически суммируются:

EI



^{∆i }m ^M1i^Mx ^{dzj , (10.16)} j1_{l j} x

где m – число силовых участков; l_j – длина j-го силового участка.

Необходимо обратить внимание на то, чтобы выделение силовых участков и выбор локальных координат z_j на них было одинаковым как в грузовом, так и в единичном состоя-ниях конструкции, т. е. внутренние усилия, стоящие под зна-ком интеграла, должны быть функциями одной и той же пе-ременной.

Положительный знак результата свидетельствует о том, что перемещение происходит в направлении единичной обобщённой силы.

Пример 10.1. Определение перемещений интегралом Мора. Для шарнирно опёртой балки постоянной жёсткости, на-

ходящейся под давлением равномерно распределённой на-грузки интенсивностью q (рис. 10.4, а), определить прогиб в середине пролёта и угол поворота сечения над опорой В.

Рис. 10.4

Решение. Для определения прогиба в сечении С освобо-ждаем балку от действия распределённой нагрузки и прикла-дываем в этом сечении фиктивную сосредоточенную силу

F = 1. В единичном состоянии балка имеет два силовых уча-стка (см. рис. 10.4, б), такие же участки необходимо выде-лить и в грузовом состоянии балки. Запишем по участкам выражения изгибающих моментов:

I. 0z₁ l 2

2 2 2

2

1

M_x R_Az₁ −q ^z2 ^ql z₁ −q ^z1 ;

2

A

M₁₁ R^z₁ ^z1 .

II.0 z₂ l 2

2 2 2

2

2

M_x R_Bz₂ −q ^z2 ^ql z₂ −q ^z2 ;

2

B

M₁₁ R^z₂ ^z2 .

Здесь учтено, что в силу симметрии подынтегральные выражения оказываются одинаковыми. Найденный прогиб совпадает по направлению с приложенной единичной силой.

Для нахождения угла поворота вновь рассматриваем единичное состояние конструкции, возникающее под дейст-

вием сосредоточенного безразмерного момента М = 1, при-ложенного в сечении В (см. рис. 10.4, в). Поскольку в этом случае, как и в грузовом состоянии, имеется только один си-ловой участок, интегрировать будем по переменной z₁ по всей длине балки.

0 z₁ l

2 2

1

M_x ^ql z₁ −q ^z2 ;

l

A

M₁₂ R^z₁ ^z1 .

1 1 1

2 2

1

3

1

3

2

0 0

12

l

l l

x

z ql

I l







^{θB ∆2 }^M_E ^Mx ^{dz1 }_EIx ^z1 ^{ql z1 −q z}1 ^{dz1 }_EIx ^₆ qz₁ −₈_l4 ^₀ _24EIx .

Результат получился положительным, следовательно, поворот сечения В происходит в направлении приложенного единичного момента, т. е. против часовой стрелки.

Определение перемещений способом Верещагина

Вычисление интеграла Мора можно упростить, если конструкция состоит из прямолинейных участков постоянной жёсткости. Упрощение основано на том, что внутренние уси-лия, возникающие от сосредоточенных единичных обобщён-ных сил, являются линейными функциями продольной коор-динаты z.

Пусть на интервале от а до b требуется взять интеграл от произведения двух функций f₁(z) и f(z), причём одна из них, например f₁(z) – линейна:

f₁ zc kz. (10.17)

Тогда

 

   

J b f₁zf zdz b ckzf zdz cb zf z dz kb zf z dz. a a a a

Первый из интегралов мо-жет быть представлен графиче-ски площадью, ограниченной кривой f(z), или, что то же са-мое, площадью эпюры этой функции (рис. 10.5).

b

^{f zdz }^{dω ω} а ω

Второй из интегралов, входящих в выражение для J, представляет собой статиче-ский момент площади отно-сительно оси ординат у



b

Рис. 10.5 ^{zf z dz }^{zdω ωzц.т ,} а ω

где z_ц.т = абсцисса центра тяжести эпюры f.



Тогда

J cωkω z_ц.т ω сkz_ц.т .

Но, поскольку сkz_ц.т f₁z_ц.т ,окончательно получим J ωf₁ z_ц.т .

Таким образом, интегрирование произведения двух функций, одна из которых линейна, можно заменить произ-ведением площади эпюры функции на ординату линейной функции ₁, взятую под центром тяжести эпюры . Если ли-нейны обе функции, то безразлично, перемножаются ли площадь первой эпюры с ординатой второй, или наоборот.

Способ А. К. Верещагина состоит в применении изло-женного подхода к нахождению перемещений с помощью интеграла Мора. При плоском изгибе, например, выражение для перемещений (10.16) примет вид

ω



n

j

c

j

M

^{∆i }_j1 EI_x j ^{. (10.18)}

Здесь _j – площади простейших фигур, на которые раз-бивается эпюра изгибающих моментов M_x;

M_{cj – ординаты с эпюры моментов М1i от единичной нагруз-}

ки, взятые под центрами тяжести площадей _j;

n – число простейших фигур, на которые разбивается эпюра грузовых моментов М_х.

2

3

2

ql



yj

xj

j

j

к

  

∆   

Необходимо учесть, что перед разбиением на простей-шие фигуры должны быть выделены участки постоянной жё-сткости, на которых эпюра М_х не имеет разрывов, а эпюра моментов от единичной нагрузки линейна – т. е. не имеет разрывов и изломов.

В подавляющем большинстве случаев эпюры внутрен-них усилий можно разбить на простейшие фигуры трёх типов – прямоугольники, треугольники и сегменты квадрат-ной параболы. Формулы для вычисления их площадей и по-ложений центров тяжести приведены в таблице.

Следует обратить внимание, что для последней фигуры площадь и положение центра тяжести не зависят от положе-ния основания сегмента.

y

x

При вычислении перемещений по способу Верещагина в общем случае нагружения выражение для интегралов Мора (11.13) приобретёт следующий вид:

ω M_c^к ω M_cj ω M_{cj j} GI_к _{j j} EI_x _{j j} EI_{y j}

Nj

GA

Q

GA

ω Q ω

ω N

x y ^_EAcj ^^kx _Qxj _cj ^^ky _Qyj _cj

(10.19)

j

j

j

j j

j

Здесь ω_кj ,ω_xj ,ω_yj ,ω_Nj ,ω_Qxj ,ω_Qyj – площади простых фи-

гур, на которые разбиваются эпюры от заданной нагрузки для соответствующих внутренних силовых факторов;

y x y

x

к

M_{c j} ,M_cj,M_cj,N_cj,Q_cj,Q_cj – ординаты эпюр внутренних уси-

лий от единичной силы под центрами тяжести выделенных фигур.

Практическое применение способа Верещагина для на-хождения перемещений состоит в следующем:

1. Строятся эпюры внутренних силовых факторов от за-данной нагрузки («грузовые» эпюры).

2. Строятся эпюры внутренних силовых факторов от единичной обобщённой силы, соответствующей искомому перемещению («единичные» эпюры).

3. Конструкция мысленно разбивается на участки, на ко-торых «грузовые» эпюры не имеют разрывов, а «единичные» эпюры линейны, т. е. не имеют разрывов и изломов.

4. На каждом из выделенных участков «грузовые» эпю-ры разбиваются на простейшие фигуры, для каждой из кото-рых вычисляется площадь и положение центра тяжести.

5. Вычисляются ординаты «единичных» эпюр под цен-трами тяжести выделенных простейших фигур.

6. Полученные пло-щади и ординаты попар-но перемножаются, а ре-зультаты алгебраически суммируются в соответ-ствии с (10.19). Положи-тельный знак результата означает, что найденное перемещение совпадает по направлению с обоб-щённой единичной силой. Пример 10.2. Опре-деление перемещений

способом Верещагина. Для балки постоян-

ной жёсткости EI_x, изо-бражённой на рис. 10.6, а, определить прогиб и угол поворота в сечении А.

Решение. Выделяем в грузовом состоянии балки два силовых уча-стка и записываем для них уравнения внутрен-

_{Рис. 10.6} них силовых факторов:

I.0 z₁ 1,0м

Q_y −qz₁ −24z₁,

z

2

2

1

M _xM −q ¹ 15−12z²,



x

M 015,0кНм, М_х 1,03,0кНм.

II.0z₂ 2,0м

Q_y −qaF −15,0кН;

2

M_x M –qa_z₂ ^a_Fz₂ 3−15z₂,



x

M 03,0кНм,

М_х 1,0−27,0кНм.

Эпюры поперечной силы Q_y и изгибающего момента М_х приведены на рис. 10.6, б.

Для нахождения

прогиба в сечении А ос-вобождаем балку от за-данных нагрузок и при-кладываем в указанном сечении фиктивную без-размерную силу F = 1. Изгибающий момент М₁₁ от этой силы в про-извольном сечении z будет линейной функ-

Рис. 10.7

цией M₁₁ −Fz −z, эпюра которой пред-

ставлена на рис. 10.6, в. Разбиваем грузовую эпюру моментов на простейшие фи-

гуры, как это изображено на рис. 10.7.

2

3

2

2

3

Здесь же показаны положения центров тяжести выде-ленных фигур и соответствующие им ординаты единичной эпюры М_11. На первом участке эпюра М_х содержит три про-стейших фигуры – прямоугольник 1, треугольник 2 и сегмент параболы 3. Площади этих фигур и соответствующие их цен-трам тяжести ординаты единичной эпюры равны:

ω₁ 1,03,0 3,0



ω₂ ¹ 1,015,0−3,06,0

_ω3 _241,0³ _2,0

M_c1 −¹ 1,0 −0,5;

M_c2 −¹1,0 −0,33;

M_c3 −¹ 1,0 −0,5.

12

2

На втором участке (ВС) эпюра М_х линейна, и формаль-но мы сразу имеем простейшие фигуры – один прямо-угольный треугольник с вершиной в положительной облас-ти (М_x = 3,0 кН·м), другой с вершиной в отрицательной (М_x = –27,0 кН·м). Однако длина оснований этих треугольни-ков требует определения, что, в свою очередь, усложняет вы-числение координат центров тяжести и соответствующих им ординат единичной эпюры. В такой ситуации применяют следующий приём: расчёты проводят с треугольниками, имеющими вершины в тех же точках, но с основаниями, рав-ными длине всего участка ВС (см. рис. 10.7). Легко показать, что такая замена не влияет на результат, поскольку площади, добавленные к «положительному» и «отрицательному» тре-

угольникам, одинаковы.

ω₄ −¹ 2,027,0 −27,0

ω₅ ¹ 2,03,0 3,0

M_c4 −1² 2^−2,33;



M_c5 −1¹2^−1,6

2

При вычислении ординат единичной эпюры на этом уча-стке удобно эпюру М₁₁ тоже разбить на простейшие фигуры – прямоугольник с высотой, равной 1,0, и прямоугольный тре-угольник с высотой, равной 2,0. Прогиб в точке А находим алгебраически, складывая произведения найденных площа-дей и соответствующих им ординат (эту процедуру иногда называют «перемножением эпюр»):

1

EI

v_A _EIx 3,0−0,56,0−0,332,0−0,5−27,0−2,333,0−1,67^53,510³ м.

x

Множитель 10³ в ответе возникает из-за того, что на-грузки заданы в килоньютонах. Положительный результат означает, что прогиб происходит в направлении единичной силы, т. е. вниз.

В практических расчётах обычно не вычисляют площади и соответствующие им ординаты заранее, а сразу подставля-ют числовые значения в выражение для определения пере-мещений, сохраняя при этом узнаваемую структуру стан-дартных формул. Тогда для угла поворота в сечении А полу-чим следующий результат, учитывая, что ординаты единичной эпюры М₁₂ во всех сечениях одинаковы М₁₂ −1:





2

2

2

2

1

 

 



EI

θ_A _EIx [1,03,0−1 ¹ 1,015,0−3,0-1²⁴₁^1,03 −1_−¹ 2,027,0_−1¹ 2,03,0−1 ]^13,0 10³.

x

Результат вновь получился положительным, значит, по-ворот сечения A происходит в направлении фиктивной еди-ничной нагрузки M 1, т. е. против хода часовой стрелки.

Лекция 11 _______________________________________________________________________________________________