Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

ρ

При рассмотрении нормальных напряжений при изгибе нами была получена связь между кривизной балки ¹ и изги

бающим моментом в сечении

 .

1 M_x ρ EI_x

С другой стороны, из курса высшей математики известно выражение для кривизны плоской кривой, описываемой уравнением v(z)

.

1





Приравнивая правые части этих выражений, будем иметь

d²z



dz^{2 M}x _dv^{2 EI}x

^dz

(9.4)

Полученное уравнение называют точным уравнением изогнутой оси балки. Нелинейность этого дифференциального уравнения вызывает значительные трудности при интегрировании. Однако для большинства решаемых практических задач справедливы предположения о малости прогибов и углов, что позволяет исключить нелинейность в (9.4), поскольку стоящая в знаменателе формулы производная

dz

^dv θ 1,

и квадратом этой величины по сравнению с единицей можно пренебречь.

Полученное таким образом упрощенное линейное уравнение

d²v M_{x dz}² EI_x

(9.5)

мы в дальнейшем будем называть дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Знак в правой части уравнений (9.3)–(9.5) определяется направлением вертикальной оси у. При положительном значении изгибающего момента ось балки имеет характер вогнутой кривой с центром кривизны, расположенным в верхней полуплоскости. Если ось y

направлена вверх, кривизна

1

ρ

оказывается положительной

(рис. 9.5, а), и правую часть необходимо брать со знаком плюс:



,

d ² v M_x dz² EI_x

(9.6)

в противном случае, когда ось у направлена вниз, в правой части уравнения должен стоять минус (см. рис. 9.5, б):

x

EI

d

2

2

^d_z^v −^Mx . (9.7)

Рис. 9.5

Как говорилось ранее, в большинстве случаев мы будем направлять ось у вниз и использовать дифференциальное уравнение оси балки в форме (9.7).

Определение перемещений непосредственным интегрированием уравнения изогнутой оси балки

Для нахождения аналитических выражений прогибов и углов поворота необходимо решить дифференциальное уравнение (9.7). Эта задача упрощается в случае, если жёсткость балки остаётся постоянной по всей длине (EI_x = const).

Запишем уравнение изогнутой оси в следующем виде:

2

2

d

EI_x ^d_z^v −M_x. (9.8)

Зная закон изменения изгибающих моментов по длине балки, можно считать правую часть уравнения (9.8) известной. Проинтегрируем левую и правую часть уравнения

2

2

d

^{EIx d}_z^{v dz −}^Mxdz.

Порядок производной в левой части уравнения понизится, в результате чего будем иметь выражение для углов поворота как функции координаты z:

dz

^{EIx dv EIxθ −}^{Mxdz C1.}

Повторное интегрирование даёт выражение для функции прогибов

1

^{EIxv −}^dz^{Mxdz C z C2.}

Здесь С₁, С₂ – постоянные интегрирования, которые могут быть найдены из условий закрепления балки.

Пример 9.1. Нахождение углов поворота и прогибов консольной балки.

Решение. Запишем выражение для изгибающих моментов М_х в произвольном сечении балки z



M_x −F l −z .

Уравнения для углов поворота и прогибов примут вид



2

^{EIxθ }^{Fl −z dz C1 Flz −F z}2 ^C1,

z z z



2 2 3



EI_xv Flz −F ₂ C₁ dz Fl ₂ −F ₆ C₁z C₂ .

Постоянные интегрирования найдём из граничных условий:

при z = 0: v = 0; = 0,

откуда следует

С₁ = 0; С₂ = 0.

Таким образом, получаем окончательный вид для функций перемещений

2

EI_xθ Flz −F ^z2 ,

2 6

EI_xv Fl ^z2 −F ^z3 .

Для шарнирно опёртой балки граничными условиями служат равенства нулю прогибов над опорами. В тех случаях, когда на разных участках балки изгибающий момент имеет различные законы изменения, для каждого такого участка необходимо составлять свои дифференциальные уравнения. При их интегрировании появляются дополнительные постоянные, общее число которых равно удвоенному числу участков. Для определения постоянных интегрирования помимо условий закрепления необходимо использовать условия непрерывности решений на границах участков:

θ_л θ_п; v_л v_п,

где индекс «л» соответствует значению перемещений при подходе к границе участков слева, а «п» – справа.

Появление дополнительных постоянных интегрирования может значительно усложнить задачу, поэтому изложенный подход используется лишь в простейших случаях, когда мы имеем дело с одним, в крайнем случае – с двумя силовыми участками.