Лекция _______________________________________________________________________________________________

Определение перемещений при изгибе

Для того чтобы судить о работоспособности конструкций, испытывающих изгиб, знать возникающие в сечениях напряжения часто бывает недостаточно. Балки могут удовлетворять условиям прочности, но при этом быть непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жёсткости. Для проверки условий жёсткости необходимо уметь определять перемещения точек оси балки.

Ограничимся пока рассмотрением плоского изгиба, когда действующие на балку силы лежат в плоскости, проходящей через ось симметрии поперечного сечения.

Под действием приложенной нагрузки произвольная точка С оси балки, отстоящая от начала координат на расстоянии z, переместится в новое положение С₁ (рис. 9.1). Обозначим её вертикальное

^{Рис. 9.1} перемещение величиной v, горизонтальное – u. Проверка жёсткости балки сводится к условию, по которому наибольший прогиб v_max не должен превышать некоторой заданной доли от продольного размера конструкции – длины пролёта либо длины консольного участка, в зависимости от условий закрепления балки:

m

v_max ^l (9.1)

Величина m устанавливается нормами проектирования и обычно лежит в пределах 200...1000 единиц. Отсюда следует, что перемещения при изгибе малы по сравнению с размерами конструкции. Этот факт позволяет ввести некоторые упрощения, в частности, пренебречь горизонтальными перемещениями u. В дальнейшем будем учитывать только вертикальные перемещения v (в общем случае – перемещения, нормальные к недеформированной оси), называя их прогибами балки (рис. 9.2)

Рис. 9.2

В точке С₁ к оси изо-гнутой балки проведена касательная, угол наклона которой к оси z обозначен . Принимая гипотезу плоских сечений, можно считать, что угол поворота поперечного сечения в этой точке также равен (см. рис. 9.2)

dz

Бесконечно малому приращению координаты dz соот-ветствует приращение прогиба dv (рис. 9.3), откуда tgθ ^dv .

При малых прогибах малы и углы , вследствие чего можно считать

tg ,

где угол выражен в радианах.

^{Рис. 9.3} Окончательная связь между прогибами v и углами поворота сечения принимает вид

dz

θ ^dv. (9.2)

Таким образом, задача определения перемещений при изгибе сводится к отысканию двух функций – прогибов v (z) и углов поворота (z).

Введём для них следующие правила знаков. Прогиб будем считать положительным, если он направлен в сторону координатной оси у.

Угол поворота положителен, если касательная поворачивается по кратчайшему пути от направления оси z к направлению оси у.

На рис. 9.2 и прогиб, и угол поворота положительны. При других на-правлениях координатных осей для правильного выбора знака можно поль зоваться схемой, показанной на рис. 9.4.