Сформулируем принцип Понтрягина:

Пусть u(t), 0<=t<=T – такое допустимое управление, т.е. управление, удовлетворяющее ограничению u c- U, что соответствующая ему траектория x(t), выходящая из точки x(t), проходит в момент времени Т через точку х(Т). Для оптимальности управления u(t) траекторией x(t) необходимо существование такой непрерывной ненулевой вектор-функции P₀(t), …, P_n(t), которая обладает следующими св-вамии:

а) для лбого t c- [0,T] гамильтониан достигает максимума: max H(p,x,u) = H*(p*,x*,u*);

б) в конечный момент времени t= T Должно выполняться соотношение H*(T) = 0

ВОПРОС №39: Примеры решения простейших задач оптимального управления на основе непрерывного принципа максимума

Этапы:

1. Для модели процесса и функционала Больца (4.3), составить Гамильтониан

.

2. Найти структуру оптимального управления из условия максимума Гамильтона по управлению

.

3. Составить систему канонических уравнений с заданными в задаче условиями

.

4. Получить недостающие условия для уравнений составленной системы из условий трансверсальности

.

5. Решить двухточечную краевую задачу для системы канонических уравнений. В результате определяется тройка: (t*, x*, u*), на которой достигается экстремум функционала качества.

Пример.

Дано: модель ОУ описывается

Функционал качества:

Требуется найти оптимальную пару (x*,u*), на которой достигается минимум функционала.

Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем

Решается задача Больца

1. Составляем гамильтониан

2. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как ограничения на управление отсутствует, можно применить необходимые условия безусловного экстремума.

Отсюда, и . Данное управление обеспечивает максимум по управлению, так как удовлетворяются достаточные условия экстремума.

3. Выписываем условие трансверсальности в форме (4.11) с учетом результата пункта 2.

,

4. Проверяем условие трансверсальности в форме (4.41). Так как то и

Поскольку , то и . В результате имеем .

5. Решаем полученную двухточечную задачу

Из второго уравнения с конечными условиями имеем - оптимальное управление. Решая первое уравнение с начальными условиями, получаем оптимальную траекторию

.

ВОПРОС №40: Краевая задача принципа максимума для дискретных систем

Пусть уравнение объекта имеет вид: x(k+1)=f(x(k),u(k),k) (1)

x(0)=x0 (2)

k - дискретное время, k=0,1,…,N-1

u(k)€U (3)

Требуется выбрать управление из (3),так чтобы вдоль траекторий системы (1)-(2) минимизировать функционал

(4)

Задача (1)-(4) аналог непрерывной задачи Майера-Больца. Принцип максимума для такой задачи имеет некоторые особенности: для произвольной дискретной задачи он не справедлив, т.е. если мы введем аналог гамильтониана, то не всегда оптимальное управление есть точка максимума по u этого гамильтониана.

ВОПРОС №41: Теорема(принцип максимума для дискретных систем)

Пусть U выпуклое множество, F,φ - непрерывно дифференцируемые функции, а f, F выпуклы по u. Тогда оптимальное управления задачи

x(k+1)=f(x(k),u(k),k) (1)

x(0)=x0 (2)

k - дискретное время, k=0,1,…,N-1

u(k)€U (3)

удовлетворяет принципу максимума, т. е. вдоль u*(k).

ВОПРОС №42: Пример решения дискретной задачи оптимального управления

двухшаговая система k=0,1

x(k+1)=x(k)+u(k), x(0)=3