Приходим к задаче:

f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)-->max

x1+x2+x3+x4<=7

x1,x2,x3,x4>=0

где xi - неизвестный размер инвестиций i-й фирме.

Эта задача решается методом динамического программирования: последовательно ищется оптимальное распределение для k=2,3 и 4 фирм.

Пусть первым двум фирмам выделено m инвестиций, обозначим z2(m) величину инвестиций 2-й фирме, при которой сумма f2(z2(j))+f1(m-z2(j)), 0<=j<=m максимальна, саму эту максимальную величину обозначим F2(m).

Далее действуем также: находим функции z3 и F3 и т.д. На k-ом шаге для нахождения Fk(m) используем основное рекуррентное соотношение:

Fk(m)=max{fk(j)+F{k-1}(m-j): 0<=j<=7}

ВОПРОС №35: Функция Беллмана и уравнение Беллмана в задаче о распределении инвестиций

Пример: 4 фирмы, инвестиции в размере 700 тыс. рублей. По этим 4 фирмам их нужно распределить. Размер инвестиций кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-й фирме инвестиций в размере m (сотен тыс. рублей) выражается функцией fi(m).

Приходим к задаче:

f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)-->max

x1+x2+x3+x4<=7

x1,x2,x3,x4>=0

где xi - неизвестный размер инвестиций i-й фирме.

Эта задача решается методом динамического программирования: последовательно ищется оптимальное распределение для k=2,3 и 4 фирм.

Пусть первым двум фирмам выделено m инвестиций, обозначим z2(m) величину инвестиций 2-й фирме, при которой сумма f2(z2(j))+f1(m-z2(j)), 0<=j<=m максимальна, саму эту максимальную величину обозначим F2(m).

Далее действуем также: находим функции z3 и F3 и т.д. На k-ом шаге для нахождения Fk(m) используем основное рекуррентное соотношение:

Fk(m)=max{fk(j)+F{k-1}(m-j): 0<=j<=7}

ВОПРОС №36: Непрерывные управляемые процессы

Пример: Распределение инвестиций между предприятиями холдинга, включающего 3 предприятия. Для каждого из них известна функция дохода от вложенных инвестиций. Пусть требуется некоторую сумму из инвестиций M=5 млн. у.е. распределить так, чтобы годовой доход холдинга был максимальным. Для простоты выделяемые инвестиции считаем целочисленными.

ВОПРОС №37: Критерии оптимальности Майера, Лагранжа, Майера-Больца

Для детерминированных систем в зависимости от формы задания минимизируемого функционала (критерия качества) принято различать задачи Лагранжа, Майера, Больца.

В задаче Лагранжа критерий качества J₀ имеет вид:

(1)

где F₀ - заданная оптимальная скалярная функция;

t_k, t₀ – время начала и конца работы системы (оптимизации).

Момент t_k может быть либо заранее задан, либо определяется конкретной траекторией движения. В последнем случае t_k можно рассматривать как дополнительный параметр оптимизации.

В задаче Майера критерий качества J₀ зависит от траектории системы только в момент t_k окончания движения

(2)

В задаче Больца требуется минимизировать функционал J₀ смешанного типа

(3)

Необходимо отметить, что приведенное деление задач управление по виду минимизируемого функционала весьма условно. Так, задача Больца (а тем самым и задача Лагранжа) легко сводится к задаче Майера. Для этого введем еще одну скалярную переменную x_n+1(t₀₎, определяемую соотношением

(4)

Тогда

(5)

Таким образом, функционал (3) можно записать в форме (2) следующим образом:

(6)

Таким образом, для объекта вида:

(7)

с учетом (4) получена задача Майера с критерием качества (6) эквивалентная задаче Больца.

Аналогично в случае дифференцируемости функций ,

задачу Майера можно свести к задаче Лагранжа. Если в функционале Лагранжа (1) , то имеем задачу минимизации времени управления, называемой задачей быстродействия. В общем случае минимизируемый функционал можно задавать в форме:

(8)

ВОПРОС №38: Принцип максимума Понтрягина

Математическая теория оптимальных процессов — дисциплина, рассматривающая математические задачи автоматического регулирования, прежде всего в технических системах (ракета, самолет и др.). Но экономистами делаются попытки применить некоторые понятия этой теории и к управлению экономическими процессами, в частности при теоретическом анализе процессов перспективного развития и планирования, при построении и решении задач динамического программирования. Сущность оптимального автоматического регулирования состоит в том, что оно не только обеспечивает компенсацию возмущений, воздействующих на объект управления (как это делает, напр., прибор, известный под названием “автопилот”), но и стремится к нахождению наилучшей, оптимальной траектории движения.

Главный результат теории — всемирно известный “принцип максимума” Л. С. Понтрягина, сформулированный так: для многих управляемых систем может быть построен такой процесс регулирования, при котором само состояние системы в каждый данный момент подсказывает наилучший с точки зрения всего процесса способ действий.

Если рассматривать самолет как точку, движущуюся в пространстве, то это простой объект. В каждый данный момент можно определить его положение в пространстве: допустим, широту, долготу и высоту над уровнем моря; эти три величины в данном случае его фазовые координаты. Те или иные углы поворота рулей самолета, которыми определяется направление его полета, — управляющие параметры. Совокупность этих параметров (ограниченных определенной областью управления) называется собственно управлением, траектория полета — фазовой траекторией. Задача оптимального управления состоит в том, чтобы выбрать такие из названных величин, которые обеспечат наиболее быстрый прилет самолета на место (впрочем, могут быть и другие критерии, тогда решения задачи будут иными, напр. перелет с наименьшим расходом горючего).

“Принцип максимума” Понтрягина определяет математические условия, необходимые для того, чтобы управление оказалось оптимальным, причем без предварительного определения оптимальной траектории, а путем последовательного регулирования данного процесса. Задачи экономики, основанные на М. т. о. п., обычно сложнее технических задач. Это выражается хотя бы в том, что экономические процессы характеризуются не тремя, а огромным числом фазовых координат, многими правляющими параметрами.