Вторая теорема двойственности.

Д ля того чтобы пара планов x*, y* была оптимальной в прямой и двойственной задачах соответственно, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

Экономический смысл второй теоремы двойственности:

5. Если yj>0, т.е. j-ая технология рентабельна (соответственно, j ограничение двойственной задачи, которое характеризует условные удельные оценки затрат ресурсов при выпуске одной единицы продукции j-го вида, выполняется как строгое равенство), то. условная удельная оценка всех используемых ресурсов при производстве одной единицы продукции j-го вида равна прибыли c_j и наоборот, если условная оценка удельных затрат используемых ресурсов равна прибыли c_j, то данная технология рентабельна.

6. Если yj=0, т.е. j-ая технология нерентабельна, тo

условная удельная оценка затрат больше удельной

прибыли. И наоборот, если условная удельная

оценка затрат ресурсов больше удельной прибыли,

технология нерентабельна.

7. Если xi>0 (условная цена i-го ресурса отлична от 0), то весь i-й ресурс расходуется полностью. Наоборот, если (i-й ресурс используется полностью), то у него есть ненулевая «цена», как мера его дефицитности. Эти «цены» в сравнении с собой устанавливают некоторую упорядоченность среди дефицитных ресурсов (чем больше «цена», тем более дефицитен ресурс).

8. Если цена равна 0, т.е. i-ый ресурс недефицитен, тогда соответствующее ограничение по расходу i-го ресурса выполняется как строгое неравенство.

ВОПРОС №20: Модель «вход-выход»

Объект управления можно представить в виде блок-схемы с входными и выходными сигналами:

На выходе объекта – состояние, на входе – управление u(t).

ВОПРОС №21: Допустимые управления

Координаты вектора управления u(t) - управляющие воздействия могут быть стеснены дополнительными ограничениями, диктуемыми техническими возможностями исполнительных устройств и/или запасами ресурсов. Т.е.

ВОПРОС №22: Программное управление

Программное управление - законы управления, зависящие только от времени.

Программное управление, управление режимом работы объекта по заранее заданной программе. Программное управление может осуществляться как с использованием обратной связи, (системы с замкнутой цепью воздействия), так и без неё (системы с разомкнутой цепью воздействия) (см. Автоматическое управление). Системы Программное управление с замкнутой цепью воздействия могут функционировать с оптимизацией и без оптимизации режима работы управляемого объекта.

Процесс Программное управление с оптимизацией можно рассматривать как минимизацию некоторого функционала, характеризующего «расстояние» между искомым и действительным (фактическим) состояниями объекта. Так, например,

Программное управление летательными аппаратами реализует требуемую траекторию их движения, что обеспечивает нахождение летательного аппарата в соответствующих точках пространства в заданные моменты времени.

Термин «Программное управление» с оптимизацией возник в теории управления системами, подверженными действию случайных возмущений (стохастическими). Пусть, например, движение объекта описывается системой дифференциальных уравнений вида , где — т. н. фазовый вектор, x — случайная вектор-функция, u(t) — управляющий вектор. Предположим также, что цель управления — перевести объект (систему) из начального состояния x0 в некоторое конечное хт. Поскольку система стохастическая, то нельзя говорить о точном достижении конечного состояния хт. Речь может идти лишь о таком выборе управления, которое минимизирует некоторую функцию конечного состояния J [x (T)]. В качестве такой функции принимается норма J [x (T)] = ÷÷х (Т) — хт÷÷. В теории подобных систем, к числу которых относятся системы управления ракетами, многими технологическими процессами и т.д., широко распространён следующий приём исследования. Предположим, что x º 0, т. е. система детерминирована. Тогда можно пытаться найти управление U (t), которое переводит систему точно в состояние хт по некоторой траектории движения — функции x (t). Если цель управления достижима, то таких траекторий можно определить достаточно много. Следовательно, появляется возможность выбора управления U (t) (программы), которое обеспечивает оптимальное значение некоторому критерию. Например, если речь идёт о выводе ракеты на заданную орбиту, то таким критерием может быть затрата горючего. Так возникает понятие оптимальной программы, которое охватывает обычно и понятие оптимальной траектории (t), и оптимального управления (t). Понятие оптимальной программы относится к идеализированным системам. Поэтому конструктор, определив оптимальную программу, проектирует ещё и систему управления программой — траекторией. Можно написать: U = + u, где — фиксированная функция времени, а u — корректирующее управление, которое осуществляется по цепи обратной связи. Система управления содержит средства измерения действительной траектории, и задача корректирующего управления — обеспечить минимальное рассогласование реальной траектории x (t) и оптимальной (t), которая достигает цели управления хт.

ВОПРОС №23: Управление в виде обратной связи

Связи — это элементы, осуществляющие непосредственное взаимодействие между элементами (или подсистемами) системы, а также с элементами и подсистемами окружения. Связь — одно из фундаментальных понятий в системном подходе. Система как единое целое существует именно благодаря наличию связей между ее элементами, т.е., иными словами, связи выражают законы функционирования системы. Связи различают по характеру взаимосвязи как прямые и обратные.

Обратные связи, в основном, выполняют осведомляющие функции, отражая изменение состояния системы в результате управляющего воздействия на нее. Открытие принципа обратной связи явилось выдающимся событием в развитии техники и имело исключительно важные последствия. Процессы управления, адаптации, саморегулирования, самоорганизации, развития невозможны без использования обрат­ных связей.

Рис. Пример обратной связи

С помощью обратной связи сигнал (информация) с выхода системы (объекта управления) передается в орган управления. Здесь этот сигнал, содержащий информации о работе, выполненной объектом управления, сравнивается с сигналом, задающим содержание и объем работы (например, план). В случае возникновения рассогласования между фактическим и плановым состоянием работы принимаются меры по его устранению.

Основными функциями обратной связи являются:

1. противодействие тому, что делает сама система, когда она выходит за установленные пределы (например, реагирование на снижение качества);

2. компенсация возмущений и поддержание состояния устойчивого равновесия системы (например, неполадки в работе оборудования);

3. синтезирование внешних и внутренних возмущений, стремящихся вывести систему из состояния устойчивого равновесия, сведение этих возмущений к отклонениям одной или нескольких управляемых величин (например, выработка управляющих команд на одновременное появление нового конкурента и снижение качества выпускаемой продукции);

4. выработка управляющих воздействий на объект управления по плохо формализуемому закону. Например, установление более высокой цены на энергоносители вызывает в деятельности различных организаций сложные изменения, меняют конечные результаты их функционирования, требуют внесения изменений в производственно-хозяйственный процесс путем воздействий, которые невозможно описать с помощью аналитических выражений.

ВОПРОС №24: Переменные наблюдения

Переменные наблюдения связаны либо с невозможностью фиксировать значения всех переменных состояния либо с ненадобностью таковой и возможностью управления объекта на основе реально наблюдаемых необходимых величин. В таком случае в данной схеме вводится контур наблюдения.

ВОПРОС №25: Модель «черного» ящика

Название черный ящик образно подчеркивает полное отсутствие сведений о внутреннем содержании системы. В этой модели задаются только входные и выходные связи системы со средой. Простота данной модели – перечисление лишь входов и выходов системы обманчива. Как только это потребуется для конкретной реальной системы, мы сталкиваемся с трудностями.

Пример: Опишем выходы системы наручные часы. Учитывая, что выходы соответствуют конкретизации цели, фиксируем в качестве выхода показание времени в произвольный момент. Затем принимаем во внимание, что сформулированная таким образом цель относится ко всем часам, а не только к нашим. Чтобы различить их, вносим следующее добавление (выход): удобство ношения часов на запястье; тогда появляется обязательность ремешка или браслета, а с ним и еще один выход: удовлетворение требований санитарии и гигиены, так как не любое крепление часов на руке допустимо с этой точки зрения.

Далее, представив себе условия эксплуатации часов, можно добавить достаточную в бытовых условиях прочность; пылевлагонепроницаемость .

Затем, расширив понятие условия эксплуатации часов, добавим еще два выхода: достаточную для бытовых нужд точность; ле2гкость прочтения показаний часов при беглом взгляде на циферблат.

Можно еще более расширить круг учитываемых требований к часам, что позволит добавить несколько выходов: соответствие моде и понятию красоты; соответствие цены часов покупательной способности потребителя. Очевидно, что список желаемых, то есть включаемых в модель выходов можно продолжить. Например, можно потребовать, чтобы имелась возможность прочтения показаний часов в полной темноте, и реализация этого выхода приведет к существенному изменению конструкции часов. А ведь еще не говорилось о габаритах, весе, многих других физических, химических, экономических и социальных аспектах использования наручных часов.

Рассмотренный пример свидетельствует, что построение модели черного ящика не является тривиальной задачей.

Главной причиной множественности входов и выходов в модели черного ящика является то, что всякая реальная система взаимодействует с объектами окружающей среды неограниченным числом способов. Всегда существует опасность неполноты составления перечня входов и выходов как вследствие того, что важные из них могут быть сочтены несущественными, так и в силу неизвестности некоторых из них на момент построения модели.

ВОПРОС №26: Дискретные управляемые системы

Пусть поведение объекта управления описывается уравнением:

x(t+1)=f(t, x(t), u(t)), x(0)= x0 xÎRⁿ

х - вектор состояния системы,

f - вектор функция, описывающая состояние объекта, и строится на законах предметной области.

x(0) = x⁰ - начальное состояние объекта (задано)

x(t)Î G,t = 0,1,...,N-1

где G-это область ограничений на переменные состояния объекта.

u - вектор управления u(t)ÎUÍR^r, где U – некоторое заданное замкнутое выпуклое множество допустимых значений управления.

Рассмотрим управляемый процесс. Предположим, что управление можно разбить на N шагов, а вектор управления – r-мерный вектор, т.е. решение принимается последовательно на каждом шаге, а управление, переводящее систему из начального состояния в конечное, представляет собой совокупность r пошаговых управлений.

В результате управления система переходит из состояния (0) в х(N), принадлежащее некоторому целевому множеству GG.

ВОПРОС №27: Критерии качества управления

Мало просто управлять, необходимо управлять рационально.

Критерии, оценивающие переход в целевое множество, зависят от поставленной задачи управления:

• если задача минимизировать N (минимизируем время перехода объекта из начального состояния в конечное) N --> min

• Задача с незакрепленным временем называется задачей с подвижным правым концом. Сюда же входят задачи быстродействия.

Если задача минимизировать затраты на управление, то в критерий вводятся затраты на управление, например cлагаемое

Критерий ^{называется критерием Майера-Больца.}

Если φ=0 , тогда это критерий Лагранжа. Если F=0 -критерий

Майера.

ВОПРОС №28: Задача оптимального управления дискретной системой

Заключается в выборе управляющего воздействия u(t) или u(t,x) из множества допустимых, которое переводит систему в целевое множество и при этом минимизируют один из критериев качества управления Майера, Лагранжа, Майера-Больца.

ВОПРОС №29: Сведение исходной задачи оптимального упр-я дискретной системой к задаче нелинейного программирования

Предположим нам известно оптимальное управление u * ( t ) и соответствующая траектория x^* (t) , которая вычисляется по следующей формуле:

Тогда критерий качества управления имеет следующий вид:

_{Где - r-мерный вектор, и} ^{компоненты этого вектора в каждый момент времени неизвестные.}