Первая теорема двойственности в лп.

Если задача (1) разрешима, то разрешима и задача (2) и наоборот. И при этом .

Экономический смысл 1-й теоремы двойственности

Максимальная прибыль задачи сопровождается наилучшей оценкой использования ресурсов или максимальной эффективности использования технологий отвечает наилучшая оценка используемых ресурсов. Двойственные оценки помогают ответить на вопрос, какова наименьшая стоимость набора ресурсов, дающая возможность обращения ресурсов в продукты и продажи этих продуктов с целью максимизации прибыли.

При оптимальном поведении экономической системе или фирме безразлично, использовать ли ресурсы для производства и продать продукты, чтобы получить прибыль или(!!!!!!!) продать ресурсы по эффективным ценам, уже не производя продукты.

Вторая теорема двойственности.

Д ля того чтобы пара планов x*, y* была оптимальной в прямой и двойственной задачах соответственно, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

Экономический смысл второй теоремы двойственности:

Если yj>0, т.е. j-ая технология рентабельна (соответственно, j ограничение двойственной задачи, которое характеризует условные удельные оценки затрат ресурсов при выпуске одной единицы продукции j-го вида, выполняется как строгое равенство), то. условная удельная оценка всех используемых ресурсов при производстве одной единицы продукции j-го вида равна прибыли c_j и наоборот, если условная оценка удельных затрат используемых ресурсов равна прибыли c_j, то данная технология рентабельна.
Если yj=0, т.е. j-ая технология нерентабельна, тo

условная удельная оценка затрат больше удельной

прибыли. И наоборот, если условная удельная

оценка затрат ресурсов больше удельной прибыли,

технология нерентабельна.

Если xi>0 (условная цена i-го ресурса отлична от 0), то весь i-й ресурс расходуется полностью. Наоборот, если (i-й ресурс используется полностью), то у него есть ненулевая «цена», как мера его дефицитности. Эти «цены» в сравнении с собой устанавливают некоторую упорядоченность среди дефицитных ресурсов (чем больше «цена», тем более дефицитен ресурс).
Если цена равна 0, т.е. i-ый ресурс недефицитен, тогда соответствующее ограничение по расходу i-го ресурса выполняется как строгое неравенство.

Третья теорема двойственности.

Е сли двойственная оценка x_i^*>0, то вдоль оптимального плана y^* эта оценка x_i^* есть частная производная функции L по i-му аргументу, т.е.

Экономический смысл 3-й теоремы двойственности

Третью теорему двойственности можно использовать для приближенного определения изменения прибыли в исходной задаче при изменении дефицитных ресурсов без решения новой задачи с измененными ресурсами.

ВОПРОС №19: Первая и вторая теоремы двойственности для задачи ЛП об оптимальном ассортименте