Функции нескольких переменных
25.Функции нескольких переменных: область определения, геометрическая интерпретация, линии и поверхности уровня. Предел функции, непрерывность функции в точке.
Линии и поверхности уровня
Линией (поверхностью)
уровня функции
называется
множество точек пространства в которых
функция принимает постоянные значения.
Предел функции
Пусть y=f(M)
такая функция n
переменных, что точка
содержится
в области определения этой функции
вместе с некоторой окрестностью.
Определение.
Число b
называется пределом
функции
,
если по любому сколь угодно малому
найдется
,
так, что
как только
.
Определение.
Будем говорить,
что функция
непрерывна
в точке
,
если
существует
и совпадает со значением функции в этой
точке:
или
.
26.Частное и полное приращение функции. Частные производные (определения, геометрический смысл).
Частные производные
функции
по
переменным x
наз-ся предельным отношением частного
приращения при
;
;
;
.
Пусть функция
и
ее частные производные определены и
непрерывны в точке А и ее окрестности,
тогда
.
Геометрический смысл:
,
,
Сообщив аргументу
x
приращение
,
а аргумент y
– преращ.
,
получим для z
новое приращение
,
которое будет наз-ся полным приращением
функции z
и определяться:
.
27.Дифференцируемость функции нескольких переменных: определение, необходимое условие. Достаточное условие дифференцируемости (формулировка).
Функция
называется
дифференцируемой в некоторой точке M,
если ее полное приращение можно
представить в виде:
.
Для того, чтобы
функция
была диф. в точке необходимо, чтобы она
имела частную производную в этой точке
и достаточно, чтобы она имела в этой
точке непрерывную частную производную.
Если функция диф. в точке, то она обязательно непрерывна в этой точке.
28.Производные от сложных функций.
Предположим, что
у уравнении
u
и v
явл.ф-иями независимых переменных x
и y:
.
В этом случае z
есть сложная функция от аргументов x
и y.
Также z
можно выразить через x,
y,
а именно:
29.Дифференциал функции нескольких переменных: определение, связь с частными производными.
Главная часть
приращения функции линейная относительно
приращения ее аргументов называется
дифференциалом этой функции (
или
).
Пусть задана функция
имеющая неприрывные частные производные
,
являющиеся дифференцируемыми функциями
независим. прямыми t.
.
30.Локальный экстремум (определения) функции двух переменных.
Необходимые и достаточные условия экстремума.
Необходимые
условия:
если диф. ф-ия
и
ее критическая точка, имеет экстремум,
то частные производные =0
или не существуют.
Достаточные
условия Пусть
заданная вторая диф. ф-ия
и
ее критическая точка
Введем:
Если:
1)
и
,
то
,
то в точке
2)
,
то в точке M0
экстремума нет
3)
,
то требуются дополнительные исследования.
31.Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных непрерывной в области.
Пусть задана функция
- непрерывная в обл. D.
32.Условный экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия условного экстремума.
Достаточные условия
условного экстремума связаны с изучением
знака определителя 3-го порядка
Если
,
то в точке
ф-ия имеет условный max.
Если
,
то в точке
ф-ия имеет условный min.
33.Производная по направлению: определение, свойства, связь с градиентом.
Пусть скалярное
поле заданно в некоторой точке
,
,
.
Если
- возрастает,
- убывает.
34.Градиент: определение, свойства, геометрический смысл.
Градиент указывает направление наибольшего роста поля в данной точке, а модуль = скорости возрастания поля.
перпендикулярен
поверхности уровня
Свойства:
1)производная в
данной точке по направлению вектора
имеет наибольшее значение, если
направление вектора
совпадает с направление градиента: это
наибольшее значение производной равно
.
,
где
- некоторый вектор.
2)производная по
направлению вектора, перпендикулярного
к вектору
.
,
и
.