8.Асимптота кривой. Типы асимптот. Необходимые и достаточные условия существования асимптоты.

Прямая называется асимптотой кривой y=f(x), если расстояние от переменной точки привой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки N в бесконечность.

Типы асимптот:

1)вертикальные асимптоты

или , то - вертикальная асимптота.

2)наклонные асимптоты

y=kx+b

; , k и b – конечные числа.

Если k и b , то асимптоты нет.

Замечание 1: при k=0, получаем горизонтальную асимптоту.

Замечание 2: кривая y=f(x) имеет столько вертикальных асимптот, сколько точек разрыва второго рода у нее имеется.

Наклонных асимптот (полуасимптот) может быть не более 2-х.

Интегральное исчисление функции одной переменной

9.Первообразная: определение, свойства. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Определение: Функция F(x) является первообразной для f(x) на , если F(x) дифференцируема и ее производная равна F’(x)= f(x).

Свойства первообразной:

1)Если  F(x)– первообразная f(x) на ,  то  F(x) + С также первообразна функции f(x). .

(F(x) + С)' = F'(x) + С '= f(x). чтд.

Если функция F(x) первообразна функции f(x) на (a;b), то выражение наз-ся неопределенным интегралом и определяется

равенством F(x) + С.

При этом f(x) называют подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой совокупность кривых, каждая их которых получается путем параллельного переноса вдоль оси ОХ.

2)Если f(x) непрерывна на (a;b), то для этой функции существует первообразная (а значит и неопределенный интеграл).

Свойства неопределенного интеграла:

10.Простейшие приемы интегрирования: замена переменной в неопределенном интеграле и интегрирование по частям.

Пусть дифференцируемая функция такова, что для нее существует обратная функция . Тогда имеет место формула - формула замены переменной. После вычисление интеграла в правой части следует вернуться к переменному x.

Если подынтегральное выражение f(x)dx можно представить в виде , где u, v – дифференцируемые функции, то имеет место формула - формула интегрирования по частям.

11.Интегрирование рациональных дробей.

,

После выделения полного квадрата в квадратном трёхчлене сводится к интегралам из таблицы основных интегралов

,

1. выделить производную квадратного трехчлена

2. полученный интеграл разбить на сумму двух интегралов, первый из которых табличный, а второй типа , .

12.Интегрирование тригонометрических выражений.

Рассмотрим интеграл вида . Выразим sin x и cos x через

Далее , , .

13.Интегрирование иррациональных выражений.

14.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.

Задача о площади криволинейной трапеции

x=a, x=b, y=0, y=f(x), ,

разбиваем на N элементарных отрезков . Точками , длина

Возьмем n точек ; , вычислим значения точек .

Задача на нахождение массы стержня линейная плотность. М - ?

n-частей

Точка

, n-точек

Определенный интеграл функции f(x) на (a;b) называется предел интегральной суммы вида , который не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные и от выбора точек .

.

15.Основные свойства определенного интеграла.

1)

2)

3)

4) при любом расположении точек a, b, c на числовой оси.

5) Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования

6) Если дополнительно предполагать, что f(x) непрерывна на отрезке , то , где m, M – наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке .

7) для некоторой точки .

16.Формула Ньютона - Лейбница.

Теорема:

Если f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – первообразна f(x), то справедлива формула

17.Замена переменной в определенном интеграле.

Если f(x) непрерывна на отрезке , а функция непрерывно диф-на на промежутке и , , то .

Замечание: при замене переменных нет необходимости возвращаться к старой переменной.

18.Интегрирование по частям в определенном интеграле.

u и v – дифференцируемые функции от x. . Интегрируя обе части тождества от a до b, получаем . Так как , то или .

19.Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур в декартовых координатах.

f(x) – непрерывна, ,

f(x), g(x) – непрерывны, ,

непрерывны на

Площадь поверхности вращения

- непрерывны на

20.Приложение определенного интеграла к вычислению объемов тел.

Объем тела вращения

y=f(x) – непрерывна ,

21.Приложение определенного интеграла к вычислению длины дуги кривой.

Длина дуги

, - непрерывны на , .

Замечание:

Если пространственная прямая задана параметрически уравнениями

, , то длина дуги

22.Несобственные интегралы с бесконечными пределами: определение и свойства.

Пусть функция f(x) непрерывна , .

Пусть функция f(x) непрерывна , .

Пусть функция f(x) непрерывна , .

23.Несобственные интегралы от неограниченных функций: определение и свойства.

Несобственный интеграл второго рода

.

24.Численное интегрирование. Метод прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Складывают m сумм вида при для последовательного подынтеграла.

.

Формулы является точными, если y(x) – многочлен степени не выше, чем n.

1)правило трапеций (n=1)

2)правило Симпсона (n=2)

3)Правило Уэддля (n=6)