Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1,2.Монотонные функции (определение, геометрическая иллюстрация).

Необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке.

Говорят, что функция не убывает (не возрастает) на множестве X, если для любых , таких, что , выполняется неравенство .

Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными функциями.

Теорема: Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция f(x) возраст.(убыв.), необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале

3.Точки локального экстремума (определения). Необходимые условия существования экстремума (геометрическая иллюстрация для недифференцируемой функции).

Экстремум функции – точки min и max.

Теорема (необходимые условия экстремума)

Определение:

x₀ называется стационарной точкой f(x), если в этой точке существует производная и эта производная равна нулю.

Определение:

x₀ называется критической точкой f(x), если производная в этой точке x₀=0, или не существует.

Замечание:

Не всякая критическая точка является точкой экстремума

Пусть f(x) определена и непрерывна в окрестности точки x₀. Если x₀ – точка экстремума функции, то , или не существует.

не существует.

4.Достаточное условие существования экстремума в терминах первой производной.

Теорема (достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) определена и непрерывна в окрестности точки x₀ и дифференцируема в , тогда если x₀ – критическая точка, то при переходе через эту точку слева на право производная меняет знак с плюса на минус, то x₀ – точка max, а если с минуса на плюс – min.

5.Исследование на экстремум с помощью производных высшего порядка.

Теорема (исследование функции на экстремум с помощью производной второго порядка)

Пусть x₀ – стационарная точка функции f(x) и существует производная второго порядка данной функции, непрерывная в окрестности точки x₀., то x₀ – max, - min.

6.Выпуклость и вогнутость графика функции (определения). Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции на промежутке.

Рассмотрим некоторую прямую, являющуюся графиком функции y=f(x)

Кривая называется выпуклой вниз (вверх), если все её точки лежат ниже (выше) любой касательной на интервале .

Замечание:

Кривую, выпуклую вверх, называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой.

Теорема: Если во всех точках интервала существует непрерывная вторая производная функции f(x) и она отрицательна (положительна), то кривая y=f(x) выпукла (вогнута) на этом интервале.

7.Точки перегиба (определения, геометрическая иллюстрация). Необходимые условия существования точки перегиба (формулировка). Достаточное условие существования точки перегиба.

Определение: точка с абсциссой x₀ называется точкой перегиба кривой y=f(x), если при переходе через эту точку точки кривой переходят с одной стороны касательной на другую.

Теорема: (необходимое условие)

Если точка с абсциссой x₀ кривой y=f(x) есть точка перегиба, то или - не существует.

Теорема: (достаточное условие)

Пусть y=f(x) определена и непрерывна в окрестности точки x₀ и или - не существует, тогда если при переходе через эту точку меняет знак, то точка с абсциссой x₀ – точка перегиба.