1.4. Потрійні інтеграли

До потрійних інтегралів зводяться задачі про обчислення об’ємів тіл, мас матеріальних тіл, центра мас, статичних моментів, моментів інерції матеріальних тіл та інші задачі.

Якщо потрібно обчислити потрійний інтеграл за тілом , яке визначається рівністю

У цьому випадку тіло знизу обмежене поверхнею , а згори поверхнею , то

(1.8)

коли при цьому

, то з (1.8) маємо

(1.9)

Для обчислення потрійних інтегралів за тілом , яке обмежене поверхнею

(1.10)

такою, що пряма, проведена через довільну внутрішню точку тіла паралельно осі , перетинає цю поверхню рівно в двох точках, потрібно рівняння (1.10) розв’язати відносно . Це дасть та . Тоді де . При цьому, якщо , то потрійний інтеграл обчислюється за формулою (1.9).

Розглянемо більш детальніше. Будемо вважати, що тривимірна область є правильною відносно координатної осі, якщо будь-яка пряма, що паралельна цій осі, перетинає межу цієї облаті не більш ніж у двох точках, або частково належить тій частині межі, що є циліндричною поверхнею.

Якщо область є правильною відносно осі OZ та обмежена знизу поверхнею Z=Z₁(x;y), а зверху – поверхнею Z=Z₂(x;y) та проектується в область D, що належить площині XoY (мал. 2.10), то обчислення потрійного інтегралу відбувається за формулою

(1.11),

де Ф(x;y;z) – первісна функції w(x;y;z) по змінній z за припущенням, що x, y – сталі.

Зауваження 1.3. Якщо область G правильна відносно OY(OX), то обчислення потрійного інтегралу зводиться до обчислення подвійного інтегралу по області D₁(D₂) так само як це було розглянуто раніше (мал. 2.10).

Зауваження 1.4. Якщо область G неправильна відносно координатної, то її розбивають на n правильних відносно цієї осі непересічних підобластей

D_i, i=1,2,…,n:

. Тоді за властивістю адитивності потрійного інтегралу маємо .

Приклад 1.9. Звести до подвійного інтегралу потрійний інтеграл

, якщо область G обмежена поверхнями ,які заданні рівняннями , z=5.

Розв’язок. Тіло обмежене параболоїдом і площиною z=5

(мал. 2.11.).

Виключивши z з рівнянь і z=5, отримуємо рівняння границі γ області D, на яку проектується тіло γ: . Це окружність радіуса 2.

Тоді межі вимірювання z такі: , і потрійний інтеграл по області G зводиться до подвійного інтегралу по області 𝒟 за формулою (1.11):

,

де Ф(x;y;z) – первісна по змінній z для функції w(x;y;z).

В отриманому подвійному інтегралі потрібно вибрати такий порядок інтегрування, щоб він просто обчислювався.

Наприклад, можна вибрати такі межі інтегрування для змінних x; y; z:

;

;

.

За попередньою формулою можна записати

.

По цій формулі інтеграли обраховуються з права наліво: спочатку обраховують інтеграл по змінній z (вважаючи x; y – сталими), потім по змінний y (вважаючи x – сталою) і, врешті-решт, по змінний x.

1.5. Потрійний інтеграл в циліндричній системі координат

Нехай просторова область G правильна відносно осі OZ і проектується на область D в площині XOY, яка є правильною в радіальному напрямі і яку можна записати в полярних кооринатах ρ; φ за формулами ; (див. мал. 2.6 і 2.12).

Тоді рівняння нижньої і верхньої поверхонь, які обмежують область G, можна записати через змінні ρ і φ у вигляді функцій ; .

В цьому випадку потрійний інтеграл зводиться до подвійного за формулою

.

Скориставшись формулою (1.4) для подвійного інтегралу в полярній системі координат, отримаємо кінцевий вираз для потрійного інтегралу в циліндричній системі координат:

. (1.11)

Зауваження 1.5. Обчислити потрійний інтеграл в циліндричній системі координат , , зручно в тому випадку, якщо рівняння , межі області G і підінтегральна функція містить вираз , i=1,2,…,n; k_i – раціональні числа.

Якщо ж рівняння межі області G і в підінтегральну функцію входять вирази , i=1,2,…,n, то для обчислення потрійного інтегралу зручно використовувати узагальнену циліндричну систему координат

, , .

При цьому формула (1.11) узагальнюється і набуває вигляду:

, (1.12)

Приклад 1.10. В потрійному інтегралі перейти в циліндричну систему координат, де область G обмежена поверхнями S₂: і S₁: , і показана на мал. 2.11.

Розв’язок. Зручно користовуватись в цьому випадку циліндричною системою координат

; ; ; . (1.13)

Лінія Г перетину поверхонь S₁ і S₂ є окружністю

радіуса 2, яка в циліндричній системі має вигляд . Лінія γ (межа області D в площині XOY) – це та ж окружність, тому межі вимірювання змінної ρ такі: . У циліндричній системі координат рівняння поверхонь та отримуються з рівнянь у декартовій системі координат , якщо замість підставити їх вирази у (1.13).

У результаті отримаємо Тоді границі змін такі: Сама область запитується у вигляді нерівностей

Формула (1.11) приймає вигляд

(1.14)