3.7. Математическая модель поворотного пневмопривода
Рассмотрим вывод уравнений математической модели поворотного пневмопривода, расчетная схема которого приведена на рис. 3.5.
Уравнение движение поворотного привода имеет вид
,
(3.43)
где, J – момент инерции подвижных частей привода; α – угол поворота лопасти (см. рис. 3.5); М1 и М2 – моменты результирующих сил Р1 и Р2 от давлений воздуха р1 и р2 соответственно в полости нагнетания и выхлопной полости; МС – статический момент сопротивления (нагрузка).
Найдем момент, создаваемый давлением в полости нагнетания поворотного пневмопривода:
,
(3.44)
где а – плечо силы Р1.
Определим суммарную силу Р1, создаваемую давлением воздуха
,
(3.45)
где р1 – давление в полости нагнетания, F1 – рабочая площадь лопасти, которая определяется в соответствии с расчетной схемой на рис.3.5 по формуле:
,
где (rH – rB)– высота лопасти, h – ширина лопасти (в направлении, перпендикулярном рисунку).
Тогда
.
(3.46)
Плечо силы а определим как расстояние от оси вращения лопасти до середины лопасти:
(3.47)
Подставляя значения для Р1 и а из (3.46) и (3.47) в исходное уравнение (3.44), получим следующее выражение для вычисления момента М1 :
.
Обозначим
.
Тогда получим
. (3.48)
Аналогично получим зависимость для расчета момента М2:
(3.49)
Подставляя (3.48) и (3.49) в уравнение (3.43), получим
.
(3.50)
Для вывода уравнения изменения давления в полости нагнетания воспользуемся ранее полученным уравнением, отражающим 1–й закон термодинамики:
kRТМGМ dt = kp1dV1 + V1dp1, (3.51)
где расход GМ вычисляется по формуле
(3.52)
Найдем выражение для вычисления объема полости нагнетания V1.
Объем V1 равен произведению площади F1 сектора с углом + 01 на ширину лопасти h.
(3.53)
где площадь сектора F1 в соответствии с расчетной схемой на рис.3.5 будет равна
(3.54)
где 01 – приведенная начальная угловая координата, характеризующая объем вредного пространства.
Подставляя (3.54) в уравнение (3.53), найдем объем полости нагнетания
.
(3.55)
Подставляя значения (3.55) и (3.52) в уравнение (3.51), после преобразований получим уравнение изменения давления в полости нагнетания привода:
.
(3.56)
Для вывода уравнения изменения давления в выхлопной полости воспользуемся также ранее полученным уравнением (3.27):
,
(3.57)
где
.
(3.58)
Найдем объем выхлопной полости:
,
где площадь сектора Fα2 в соответствии с рис. 3.5 будет равна
.
Тогда объем выхлопной полости
.
(3.59)
Подставляя значения G2 и V2 из уравнений (3.58) и (3.59) в (3.57), получим следующее уравнение изменения давления в выхлопной полости:
.
(3.60)
В выхлопной полости считаем процесс адиабатическим. Тогда температуру T2 выразим через давление P2 из уравнения адиабатического процесса:
.
(3.61)
Окончательно получим
.
(3.62)
Таким образом, получили уравнение движения поворотного пневмопривода (3.50), уравнения изменения давлений в полостях (3.56) и (3.62).
Угловая координата положения поршня изменяется в диапазоне от 0 до S , т.е. лопасть перемещается от упора до упора. Отразим это ограничение в математической модели, так как формальное решение уравнений математической модели поворотного пневмопривода без учета этих ограничений приведет к абсурдным результатам, аналогичным тем, о которых описано выше для линейного пневмопривода.
Введем в уравнение движения ограничение по углу.
если
0, то
,
если S, то .
Таким образом, математическая модель поворотного пневмопривода, вал которого поворачивается от упора до упора, будет описываться следующей системой дифференциальных уравнений:
,
,
, (3.63)
если 0, то ,
если S, то .
При разработке конкретных математических моделей поворотного пневмопривода необходимо учитывать его особенности. Поскольку математические модели линейного и поворотного пневмоприводов аналогичны, то дополнительные условия к математической модели поворотного пневмопривода можно написать по аналогии с такими же условиями, написанными для линейного пневмопривода.