5. Математические модели пневматических линий

Пневматическая линия связи характеризуется следующими параметрами: длиной l, проходным сечением f и характеристиками входа и выхода.

Характер переходного процесса в линии определяется тремя различными физическими процессами:

1). Процессом разгона всей массы рабочей среды внутри линии, который приводит к изменению расхода в линии; процесс описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.

2). Процессом изменения количества рабочей среды при наполнении и опустошении линии, которое приводит к изменению давления, плотности и температуры газа внутри линии; этот процесс описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.

3). Процессом, обусловленным упругими свойствами рабочей среды, который приводит в переходных режимах к появлению волновых процессов изменения давления, плотности и расхода газа. Этот процесс описывается дифференциальными уравнениями в частных производных.

В зависимости от типа линии может преобладать тот или иной процесс или сочетания процессов. На рис. 5.1 представлены типы линий связи.

В короткой линии (рис.5.1,а) преобладает разгонное движение газа.

В сильно задросселированной линии (рис.5.1,б) проявляются, главным образом, процессы наполнения и опустошения.

В типовой пневматической линии (рис.5.1,в) наблюдаются все эти физические процессы.

а) Незадросселированная линия связи (открытая линия)

б) Сильно задросселированная линия связи (камера)

в) Типовая линия связи

Рис.5.1. Типы пневматических линий

Рассмотрим наиболее известные математические модели пневматических линий связи.

5.1. Математические модели пневматических линий для частных случаев

5.1.1. Математическая модель открытой линии

А) Ламинарное течение

Рассмотрим вывод уравнений движения газа в открытой пневматической линии при ламинарном течении. Расчетная схема такой линии приведена на рис. 5.2.

Уравнение движения всей массы газа внутри линии имеет вид:

, (5.1)

где – масса газа внутри линии,  – скорость движения центра масс газа в линии, р_М и р_А – давления на концах линии, р_ТР – перепад давления за счет трения газа при движении.

Найдем выражение для вычисления потерь на трение р_ТР при ламинарном течении газа:

,

Коэффициент сопротивления  линии определяется по формуле

,

где  – коэффициент трения газа в линии, l и d – длина и диаметр линии.

Тогда потери на трение можем определить следующим образом:

. (5.2)

Коэффициент трения  для ламинарного течения определяется следующим образом:

, (5.3)

где Re – число Рейнольдса, которое определяется скоростью газа , коэффициентом кинематической вязкости газа и диаметром линии d:

. (5.4)

Подставляя (5.4) в уравнение (5.3), получим:

. (5.5)

Выразим диаметр линии d через площадь проходного сечения f:

. (5.6)

Подставляя (5.5) с учетом (5.6) в уравнение (5.2), после преобразований получим:

(5.7)

Окончательно уравнение движения (5.1) с учетом (5.7) после преобразований будет иметь вид:

. (5.8)

Отсюда можем определить скорость _у установившегося течения газа в линии в конце переходного процесса, когда :

(5.9)

Б) Турбулентное течение

Выведем уравнение движения газа в пневматической линии при турбулентном течении:

. (5.10)

Потери на трение определим из уравнения (5.2):

. (5.11)

Подставляя выражение (5.11) в уравнение движения (5.10), получим:

Разделив все члены уравнения на , получим уравнение в следующем виде:

. (5.12)

Отсюда можем определить скорость установившегося течения. Принимая , получим

. (5.13)

Полученные математические модели (5.8) и (5.12) справедливы только для расчета проточных открытых (незадросселированных) линий при низких давлениях (рис. 5.1,а).