1.3 Распространение сейсмических волн при влиянии неидеальной упругости среды

Отдельное место в матричном методе занимают задачи для сред, в которых происходит потеря энергии при распространении волн. Матричный метод разработан для диссипативной модели с последействием /12/, для вязкоупругих сред и для пористых сред с применением теории Френкеля-Био. В работе /12/изложена методика расчета теоретических сейсмограмм на поверхности слоистой неидеально-упругой среды (рисунок 1.1), когда каждый слой характеризуется дополнительно добротностями распространения продольных и поперечных волн. Источник колебаний находится на бесконечности в положительном направлении оси z.

1.3.1 Учет неидеальной упругости при помощи эмпирического подхода

Пусть в некотором объеме V тела, ограниченного поверхностью S , распространяется сейсмическая волна. Согласно первому началу термодинамики для отрезка времени имеет место соотношение:

выполненная механическая работа + количество выделенного тепла = = увеличению внутренней и кинетической энергии тела.

В этом соотношении второе слагаемое левой части равенства можно представить в виде где - скорость распространения тепла через единичную площадку, перпендикулярную единичному вектору . Адиабатическая деформация - характерное явление в сейсмологии для длин волн больших нескольких миллиметров /17/, поэтому , = 0 и, следовательно, энергия механических колебаний должна переходить во внутреннюю и кинетическую энергию частиц среды.

Обширные данные о затухании сейсмических волн приводятся в работах /17-19/. Для получения этих данных авторы используют результаты полевых и лабораторных исследований горных пород /16/. Большое количество данных о диссипации энергии сейсмических волн привело к необходимости построить теорию, которая давала бы возможность одновременно учитывать затухание распространяющихся Р и S волн, а также определять значения волновых диссипативных параметров в области сейсмических частот.

Классическими моделями, описывающими неупругое поведение сред являются: тела Кельвина-Фойгта, Максвелла и стандартное линейное тело /12/. Отметим отрицательные явления, характерные для классических моделей, а потом запишем уравнение с последействием, где они отсутствуют. В теле Кельвина-Фойгта при уменьшении релаксационных модулей до нуля, т.е. при переходе к гуковскому телу, имеем уменьшение продольного и сдвигового напряжений, что противоречит молекулярной сущности деформации. В теле Максвелла при фиксированном напряжении деформация неограниченно растет, поэтому уравнение имеет смысл только для сдвиговых напряжений, когда тело течет. В стандартном линейном теле отсутствуют отрицательные свойства отмеченные для тел Кельвина-Фойгта и Максвелла. Однако, горные породы ведут себя при распространении волн существенно иначе, чем это можно предвидеть при помощи классических моделей. Это объясняется одновременным существованием множества диссипативных механизмов. Кроме того, из уравнений движений, в которых используются все три типа тел, следует существенная зависимость декрементов затухания от частоты, что противоречит большинству опытных данных.

Еще в 1876 году Больцман /17/предложил следующий вид уравнения состояния:

(1.39)

где ) - функция крипа /17/, последействия, функция памяти,

- релаксационный неупрзпгий модуль,

- деформация и напряжение для одномерного случая.

Многие исследователи занимались подбором ) для получения согласия с экспериментом зависимостей фазовой скорости и добротности от частоты /18,19/. Основоположной здесь следует считать работу Николаева Б.Г. /18/, где показано как соответствующим выбором ядер последействия для уравнения (1.39) можно переходить к тем или иным моделям неидеально упругих сред (Больцмана, Дерягина) и определять диссипативные характеристики с использованием метода итераций.

Рассмотрим кратко другой эмпирический подход, основанный на дисперсионных соотношениях зависимости между скоростью и коэффициентом затухания гармонических колебаний (соотношениях Крамерса-Кронига). Используя известную эмпирическую формулу коэффициента затухания /17/

(1.40)

где - угловая частота;

c - скорость волны;

Q - постоянная добротность;

импульс распространяющейся волны можно представить в виде

(1.41)

Форма этого импульса не совпадает с опытом в следующем /20/:

• уравнение (1.41) описывает кривую симметричную относительно , реальный же импульс имеет время затухания намного больше, чем время возрастания;

• экспериментальный импульс имеет наклон возрастания приблизительно в полтора раза меньше чем в (1.41). Для обхода указанной трудности Футтерманом /21/ предложено ввести дисперсию скорости . Далее в работе /21/, исходя из того, что давление распространяющейся волны отсутствует там, куда не пришло возмущение от источника

, ; (1.42).

где - максимальная скорость распространения гармонической волны; Получены дисперсионные соотношения между скоростью и коэффициентом затухания гармонических колебаний.

Из экспериментальных данных известно, что Q чаще всего постоянно в области сейсмических частот /20/, поэтому в (1.40) подбирается такой закон , не обязательно линейный, для которого Q эффективно постоянно в области исследуемых частот. Далее по известной функции α(ω), определяется дисперсия фазовой скорости из соотношений Крамерса-Кронига.

Таким образом, получаются эмпирические выражения для α(ω), Q(ω) в неидеально-упругой среде. Интересно, однако, получить дисперсионные соотношения исходя из физических законов о деформируемости сред. Соответствующая теория изложена в следующем подразделе, она разработана Гуревичем Г.И. /22/.