1.2.2 Учет горизонтальной неоднородности среды

Распространение поверхностных волн в среде с вертикальной и горизонтальной неоднородностью физических параметров рассматрива­лось Бабичем В.М., Молотковым И.А., Мухиной И.В, /15,16/. При этом применялся обобщенный лучевой метод. Жарков В.Н. и Оснач А.И. /16/ изучили дисперсию поверхностных волн в среде со слабой вер­тикальной и горизонтальной неоднородностью методом малого парамет­ра. В работе Кеннета Б.Л.Н. /13/ эта же теория применена для исследования распространения объемных волн в слоистой вертикально-не­однородной среде со слабой горизонтальной неоднородностью.

Рассматривается /13/ слоистая идеально-упругая среда (рисунок 1.2) между параллельными слоями которой выполнены условия жесткого контакта. Плоскость совпадает с границей верх­него слоя , которая является свободной. Нижний слой(N)однородный и бесконечный в направлении оси , характеризуется скоростями продольной и поперечной волн , , полностью . Каждый промежуточный слой (1, … N-1) , и полностью неоднород­ной среды.

Считается, что напряжение и смещение не зависят от y коор­динаты и изменения физических характеристик , , в латеральном направлении (по координате х) являются небольши­ми, так что поле смещений, рассеянное на такой неоднородности, по порядку меньше поля, рассеянного на неоднородности физических ха­рактеристик в вертикальном направлении (по координате ). Ста­вится задача определения зависимости от времени поля смещений на границе полупространства, когда источник колебаний на­ходится на и это поле удовлетворяет условию равенства нулю на бесконечности.

Определение поля смещений расчет теоретический сейсмограммы для указанной модели - состоит в решении системы уравнении движения , когда выполняется закон Гука:

, (1.22)

где i

коэффициенты Ламе,

– символ Кронекера.

Рисунок 1.2  Модель идеально-упругого горизонтально-слоистого полупространства, в m-ом слое которого плотность и скорость распределения продольных и поперечных волн являются неоднородными по двум координатам . Источник (И) и приемник (П) размещены на свободной границе полупространства

-компоненты напряжений в декартовых координатах, значение индексов 1,2,3 эквиваленты обозначению .

Подразумевается, что после напряжений-смещений неявно зависит от времени . угловая частота, тогда равенства (1.22) можно записать в матричном виде /13/. Для волн P-SV:

, (1.23)

где , ;

для волн SH:

(1.24)

Если представить неоднородность в виде

и ввести обозначения

,

;

тогда уравнения (1.23), (1.24) можно записать в общем виде

(1.25)

где – операторная матрица из латерально-однородной среде;

– операторная матрица, зависит от «мер неоднородности» .

Для P-SV – волн

где ,

Для случая SH волн

,

В результате применения к уравнению (1.25) преобразование Фурье (1.4) учета во втором члене леммы Бореля, за­ключающейся в том, что Фурье-преобразование произведения матриц равно свертке их фурье-трансформант, получают

, (1.26)

где для P-SV волн

Для SH волн

,

Если правый член в уравнении (1.26) нулевая матрица, то оно описывает латерально-однородную среду.

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что если и матрицы комплексных функций, то при исходных условиях решение уравнения.

(1.27)

имеет вид

(1.28)

где – матрица- пропагатор для вертикально-неоднородного слоя /77/

Если матрица порядка n×1, то при тех же исходных условиях решение уравнения

(1.29)

можно представить в виде

(1.30)

Уравнение (1.26) для совпадает с (1.29), когда

(1.31)

Тогда решение уравнение (1.36) имеет вид

(1.32)

Когда , определяемое формулой (1.31), нулевая матрица, уравнение (1.26) приобретает вид, аналогичный (1.27) и его решением является

(1.33)

По условию задачи

,

,

.

В работе /16/ для представления поля делятся следующее допущение:

(1.34)

(1.35)

где – поле напряжения-смещения в латерально-однородной среде;

– поле, рассеянное на горизонтальных неоднородностях;

В результате, применения к (1.34) преобразования (1.4) после подстановки в (1.32) получают окончательно

(1.36)

Крайний правый член в уравнении (1.36) определяет мультипольное рассеяние в . При условии (1.35)

мультипольное рассеяние не учитывается.

Далее показано, что такое неравенство можно привести к виду

(1.37)

где - максимальное значение используемого;

, – вертикальный и горизонтальный размер неоднородности,

где , , , , , ;

- усредненный коэффициент Ламе и плотность по толщине,т содержащей неоднородность.

Если крайний правый член в (1.36) отбросить, как величи­ну второго порядка малости, то решение уравнения (1.26) для рассеянного поля можно представить в виде

Таким образом вклад неоднородности представляется как неко­торый источник, распределенный в объеме, размеры и физические характеристики которого определяются неравенством (1.37). Когда условие (1.37) не удовлетворяется, тогда имеют место мультипольные эффекты и в рассеянном поле надо учитывать члены второго и более высоких порядков малости.

Далее при рассмотрении распространения волн в горизонтально- неоднородной среде Кеннетом применен матричный метод для слоистой; среды, при этом каждый пропагатор уже описывал распространение волн в i-ом слое. В работе автора /16/ предложена методика расчета сейсмограмм на свободной границе полупростран­ства, когда горизонтальная неоднородность находится в одном из слоев. Эта методика изложена во втором разделе.

Широкий класс задач сейсмологии допускает при теоретическом рассмотрении сейсмических волн применять закон Гука для идеально- упругого тела. Однако, актуальной является необходимость учета тех особенностей распространения и затухания упругих колебаний, которые нельзя объяснить в рамках теории для идеально-упругой модели среды.

Известен ряд подходов к учету диссипации энергии упругих волн в моделях сред. Способы учета диссипации энергии распростра­няющихся волн и расчета, получающейся при этом дисперсии фазовой скорости и добротности для моделей реальных сред, рассмотрены в следующем подразделе.