1.2 Матричным методом для расчета сейсмограмм

Матричный метод часто используется при решении прямой задачи сейсморазведки, предложенный Томсоном и Хаскеллом /6, 7/ развитый в работах МолотковаЛ.А. /8-10/, Ратниковой Л.И. /11-13/, Левшина А.Л /14/. Этот метод обеспечивает строгое математичес­кое решение ряда контактных задач динамической теории распростране­ния сейсмических волн с применением интегральных преобразований, позволяет эффективно использовать возможности современных ЭВМ для получения окончательных результатов. Матричный метод позволяет учи­тывать эффект действия источников колебаний, расположенных на сво­бодной поверхности или внутри полупространства. Этот метод быть эф­фективно использован для расчета теоретических сейсмограмм на по­верхности слоисто-однородного и неоднородного полупространств, причем неоднородности могут иметь как физический так и геометрический характер.

1.2.1 Подхода Томсона-Хаскела и его численная реализация

Рассмотрим твердое полупространство, состоящее из пачки изотропных, однородных, идеально-упругих горизонтальных слоев с прямолинейными границами раздела (рисунок 1.1), нижний из которых име­ет бесконечную мощность. Слои характеризуются мощностью, плотностью, скоростью распространения продольных и поперечных волн ,

Рисунок 1.1  Модель идеально-упругого слоисто-однородного полупространства, на свободной границе которого размещены источник (И) и приемник (П)

Уравнение движения для перемещений , такой среды представлено в виде:

Вводятся скалярный и векторный потенциалы поля смещений , , с помощью которых вектор m-го слоя представлен таким образом.

(1.1)

В плоском случае вектор преобразуется в скаляр где j- орт декартовой системы координат в направлении оси Y, и уравнения движения разбиваются на два независимых волновых урав­нения для упругих потенциалов описывающих распростране­ние в данной среде продольной и поперечной упругих волн:

(1.2)

(1.3)

где

Данную задачу решают в фурье-пространстве, применяя с этой целью к уравнениям (1.2), (1.3) преобразование Фурье:

(1.4)

Тогда решение системы волновых уравнений (1.2), (1.3) записы­вается в виде:

(1.5)

где

, если ;

, если ;

Введя векторы-столбцы, элементы которых зависят от параметров преобразования k, ω, получают

(1.6)

Где - компоненты вектора смещения и напряжения в Фурье-пространстве.

Для всех точек m-го слоя имеет место соотношение

(1.7)

(1.8)

где

(1.9)

(1.10)

, .

Значения упругих потенциалов на (m+1)-ой границе выражаются через их значения на m -ой границе следующей рекуррентной формулой:

, (1.11)

где

(1.12) diad – обозначение диагональной матрицы.

Граничные условия в фурье-пространстве записываются следующим образом:

, (1.13)

(1.14)

= (1.15)

Равенство (1.13) задаёт условия на поверхности слоистого полупространства, причём две из компонент вектора (напряжения) предполагающегося заданными, а две (смещения) необходимо определить. Условие (1.14) выражает непрерывность напряжений и смещений на границах между слоями. Последнее равенство (1.15) выражает тот факт, что из нижнего полупространства волны не приходят, так как по условию задачи оно в направлении оси z не имеет границ. Со­гласно /13/ матрица-пропагатор однородного слоя определяется ре­куррентным соотношением

. (1.16)

Из формул (1.7), (1.8), (1.11) следует, что

(1.17)

В принятых обозначениях элементы матрицы имеют следующий вид /13/:

, , .

(1.18)

Таким образом, на границе слоисто-однородного полупространства из формул (1.7), (1.14), (1.16) имеем

(1.19)

где – квадратная матрица 4×4.

Матрица R может быть представлена через подматрицы второго порядка

. (1.20)

Если на свободной поверхности заданы фурье-трансформаторы напряжений , то фурье-трансформаторы смещений , с учетом формулы (1.15) определяются по формуле

. (1.21)

Для получения зависимости компонент смещения от времени на поверхности слоистого полупространства производится двой­ное обратное преобразование Фурье в (1.21) от ω к t и от K к x.

Рассмотренная выше классическая формулировка матричного ме­тода принадлежит Хаскеллу /7/. Численное исследование для слу­чая, когда плоская волна падает под углом на пачку идеально-упру­гих горизонтально-параллельных слоев впервые проведены Ратниковой Л.И. и Левшиным А.Л. в работе /11/. Далее эти исследования обобщены в монографиях /12, 13/.

Молотков Л.А. в работе /8/ показал, что вычислительная схема, основанная на подходе Томсона-Хаскелла /6,7/ дает ошиб­ки на высоких частотах в области предельных углов распространения волн. Для обхода этой трудности он предложил матричный метод с использованием миноров второго порядка матриц Томсона-Хаскелла, ор­ганизованных в матрицы порядка 5×5. В этой же работе Молотков Л.А. получил рекуррентные соотношения, с помощью которых матричные коэф­фициенты отражения и преломления пересчитываются с одной границы слоя на другую и выделяются заданные типы и кратности отражения-преломления из полного поля интерферирующих волн на сейсмограммах. В работах /10, 11/ исследованы выражения для коэффициентов отра­жения-преломления в области низких и высоких частот для вертикаль­но-неоднородных слоев и упруго-жидких слоистых систем.

Исследование отражения и преломления в среде с локальными неоднородностями невозможно без решения задачи о распространении волн в горизонтально-неоднородной среде. Поэтому решение такой задачи рассмотрено в следующем разделе.