Авторегресійна модель

Одним із поширених методів усунення автокореляції є використання авторегресійної моделі. Для даного часового ряду далеко не завжди вдається підібрати адекватну модель, для якої ряд збурень задовольнятиме основним передумовам регресійного аналізу, зокрема, не буде мати автокореляції.

У теперішній час набули поширення й інші регресійні моделі, в яких регресорами виступають лагові змінні, тобто змінні, вплив яких в регресійній моделі характеризується деяким запізненням. Ще одна відмінність: представлені в моделях пояснюючі змінні є величинами випадковими.

Авторегресійна модель р-го порядку має вигляд:

(8.11)

де —деякі константи.

Вона описує процес, що вивчається, в момент t в залежності від його значень в попередні моменти t — 1, t— 2..., t— р. Якщо досліджуваний процес в момент t визначається лише його значеннями в попередній період t — 1, то розглядають авторегресійну модель 1-го порядку (марківський випадковий процес):

(8.12)

◄Приклад 8.7 В таблиці8.5 представлені дані, що відображають динаміку курсу акцій деякої компанії (грош. од.). Використовуючи авторегресійну модель 1-го порядку, дати точковий та інтервальний прогнози середнього та індивідуального значень курсу акцій в момент t= 23, тобто на глибину один інтервал.

Таблиця 8.5

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	971	1166	1044	907	957	727	752	1019	972	815	823
t	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
	1112	1386	1428	1364	1241	1145	1351	1325	1226	1189	1213

Розв’язання. Спроба підібрати до даного часового ряду адекватну модель виявляється даремною. Відповідно до умови застосуємо авторегресійну модель вигляду (8.12). Отримаємо (аналогічно прикладу 8.2): Знайдене рівняння регресії значуще на 5%-вому рівні по F - критерию, оскільки фактично спостережене значення статистики F = 24,32 > = 4,35. Застосування критерію Дарбіна—Уотсона свідчить про незначущу автокореляцію збурень .

Обчислення, аналогічні прикладу 8.5, дають точковий прогноз по рівнянню : =284,0+0,7503 1213=1194,1 та інтервальний на рівні значущості 0,05 для середнього та індивідуального значень — 1046,6 1341,6; 879,1 1509,1. Отже, з надійністю 0,95 середнє значення курсу акцій компанії на момент t = 23 буде знаходитись в межах від 1046,6 до 1341,6 (грош. од.), а його індивідуальне значення — від 879,1 до 1509,1 (грош. од.).►

Ще одним важливим застосуванням методів регресійного аналізу є моделі фінансового ринку, дізнатися про які можна в додатку 4.

Контрольні питання

1. В чому полягає відмінність часового ряду від вибіркового?

2. Основні характеристики стаціонарних часових рядів.

3. Для оцінки яких параметрів застосовується кореляційний аналіз?

4. Застосування авторегресійних моделей.

Додаток 1

Перевірка гіпотез про рівність середніх

більше двох сукупностей.

Виключення грубих помилок спостережень

Розглянутий критерій (розділ 3) можна використовувати для виключення грубих помилок спостережень. Грубі помилки можуть виникнути через помилки показів вимірювальних пристроїв, помилок реєстрації, випадкового зсуву коми у десятковому записі числа тощо.

Нехай, наприклад, — сукупність спостережень, причому різко виділяється. Необхідно вирішити питання про належність значення, що різко виділяється, до решти спостережень.

Для ряду спостережень вираховують середнє арифметичне і «виправлене» середнє квадратичне відхилення . При вірності гіпотези Н₀: про належність до решти спостережень статистика (отримується як частковий випадок при , ) має t-розподіл Стьюдента із степенями вільності. Конкуруюча гіпотеза Н₁ має вигляд: або — в залежності від того, чи значення, яке різко виділяється, більше або менше решти спостережень. Гіпотеза Н₀ відкидається, якщо , і приймається, якщо .

◄ Приклад 1 Дано наступні дані про врожайність пшениці на 8 досліджуваних ділянках однакового розміру (ц/га): 26,5; 26,2; 35,9; 30,1; 32,3; 29,3; 26,1; 25,0. Є причини вважати,що значення врожайності третьої ділянки =35,9 зареєстровано неправильно. Чи є це значення аномальним (таким, що різко виділяється) на 5%-вому рівні значущості?

Розв’язання. Виключивши значення =35,9, знайдемо для спостережень, що залишилися, =27,93(ц/га) і =2,67(ц/га). Значення , що фактично спостерігається, більше табличного , отже, значення =35,9 є аномальним і його варто відкинути. ►