Стаціонарні часові ряди та їх характеристики. Автокореляційна функція

Важливе значення в аналізі часових рядів мають стаціонарні часові ряди, ймовірнісні властивості яких не змінюються в часі. Стаціонарні часові ряди застосовуються, зокрема, при описуванні випадкових складових аналізованих рядів.

Часовий ряд (t = 1,2 ,..., n) називається строго стаціонарним (або стаціонарним у вузькому сенсі), якщо спільний розподіл ймовірностей n спостережень такий самий, як і n спостережень при будь-яких n, t і τ. Тобто, властивості строго стаціонарних рядів не залежать від моменту t, тобто закон розподілу і його числові характеристики не залежать від t. Отже, математичне сподівання , середнє квадратичне відхилення можуть бути оцінені за спостереженнями (t = 1,2 ,..., n) за формулами:

, (8.1)

. (8.2)

Степінь зв'язку між послідовностями спостережень часового ряду і (зсунутих один до одного на τ одиниць, або, як то кажуть, з лагом τ) може бути визначена за допомогою коефіцієнта кореляції

(8.3)

бо

Оскільки коефіцієнт ρ(τ) вимірює кореляцію між членами одного і того самого ряду, його називають коефіцієнтом автокореляції, а залежність ρ(τ) - автокореляційною функцією. Через стаціонарність часового ряду автокореляційна функція ρ(τ) залежить тільки від лага τ, причому ρ( — τ)= ρ(τ), тобто при вивченні ρ(τ) можна обмежитися розглядом тільки додатних значень τ.

Статистичною оцінкою ρ(τ) є вибірковий коефіцієнт автокореляції , що визначається за формулою коефіцієнта кореляції, в якій , а n замінюється на n-τ:

(8.4)

Функцію , називають вибірковою автокореляційною функцією, а її графік — корелограмою.

При розрахунку , слід пам'ятати, що із збільшенням τ число n-τ пар спостережень зменшується, тому лаг τ повинен бути таким, щоб число n-τ було достатнім для визначення . Зазвичай орієнтуються на співвідношення τ< n/4.

◄Приклад 8.1. За даними табл. 8.1 для часового ряду , знайти середнє значення, середнє квадратичне відхилення і коефіцієнти автокореляції (для лагів τ =1;2).

Розв’язання. Середнє значення часового ряду знаходимо за формулою (8.1): (од.).

Дисперсію і середнє квадратичне відхилення можна обчислити за формулою (8.2), але в даному випадку простіше використовувати співвідношення

(од.),

де

Знайдемо коефіцієнт автокореляції часового ряду (для лага τ = 1), тобто коефіцієнт кореляції між послідовностями семи пар спостережень i (t = 1,2,...,7):

	213	171	291	309	317	362	351
	171	291	309	317	362	351	361

Обчислюємо необхідні суми:

Тепер за формулою (8.4) коефіцієнт автокореляції

(Домашнє завдання: обчислити коефіцієнт автокореляції часового ряду у(t) для лага τ=2, тобто коефіцієнт кореляції між послідовностями шести пар спостережень і ).►

Знання автокореляційної функції може надати істотну допомогу при підборі моделі часового ряду і статистичній оцінці її параметрів.