Нелінійна регресія

Відношення між соціально-економічними явищами і процесами далеко не завжди можна виразити лінійними функціями. В таких випадках використовують нелінійну (за пояснюючою змінною) регресію. Вибір виду рівняння регресії проходить на основі досвіду попередніх досліджень. Найбільш часто зустрічаються наступні види рівнянь нелінійної регресії: поліноміальне , гіперболічне ,

степеневе . Для визначення невідомих параметрів використовується метод найменших квадратів.

◄Приклад 7.3 За даними табл. 7.4 дослідити залежність врожайності зернових культур Y (ц/га) від кількості опадів Х (см), які випали в вегетаційний період:

Таблиця 7.4

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Кількість опадів, хі(см)	25	27	30	35	36	38	39	41	42	45	46	47	50	52	53
Врожайність yі (ц/га)	23	24	27	27	32	31	33	35	34	32	29	28	25	24	25

Розв’язання. З деяких міркувань можна зробити висновок, що збільшення кількості опадів, що випали, призводить до збільшення врожайності до деякої границі, після чого врожайність буде знижуватися. Враховуючи окрім того, розміщення точок кореляційного поля (див. рис. 3.1), можна припустити, що найбільш доречним рівнянням регресії буде рівняння параболи . Його параметри знаходимо, застосовуючи метод найменших квадратів:

Прирівнявши частинні похідні до нуля, отримаємо після перетворень, систему нормальних рівнянь:

Для розрахунку необхідних сум складемо допоміжну таблицю (табл. 7.5):

Таблиця 7.5

і	хі	уі	хі2	хі3	хі4	хіуі	хіуі2	уі2		( -уі)2
1	25	23	625	15625	390625	575	14375	529	21,7	1,69
2	27	24	729	19683	531441	648	17496	576	24,3	0,11
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
14	52	24	2704	140608	7311616	1248	64896	576	24,4	0,46
15	53	25	2809	148877	7890481	1325	70225	625	23,4	2,44
∑	606	429	25548	1115808	50158200	17371	739123	12493	-	45,94

Тепер система набуде вигляду:

Розв’язавши цю систему, наприклад, методом Гауса, отримаємо . Отже, рівняння регресії має вигляд: . Оцінимо значущість отриманої залежності. Знайдемо суми (див. останній рядок табл. 7.5):

; ;

.

Статистика . Табличне значення . , отже, рівняння регресії значуще.

Оцінимо тісноту зв’язку: індекс кореляції .

Тобто отримана залежність доволі тісна. Коефіцієнт детермінації показує, що варіація врожайності зернових культур на 79,5% обумовлена регресією, або мінливістю кількості опадів.►