Преревірка значущості рівняння регресії. Інтервальна оцінка параметрів парної моделі

Перевірити значущість рівняння регресії - це означає встановити, чи відповідає математична модель експериментальним даним.

Перевірка значущості рівняння регресії виконується на основі дисперсійного аналізу: ,

або , де - загальна сума квадратів відхилень залежної змінної від середнього, а і - відповідно сума квадратів, обумовлена регресією, і залишкова сума квадратів, що характеризує вплив сторонніх факторів. Схема дисперсійного аналізу має вигляд, який подано в табл. 7.3.

Середні квадрати і (табл. 7.3) є незміщеними оцінками дисперсій залежної змінної, яка обумовлена регресією або пояснюючою змінною X і впливом сторонніх випадкових факторів і помилок; m - число оцінюваних параметрів рівняння регресії; n - число спостережень.

Таблиця 7.3

Компоненти дисперсії	Сума квадратів	Кількість степенів вільності	Середні квадрати
Регресія		m-1
Залишкова		n-m
Загальна		n-1

При відсутності лінійної залежності між залежною і пояснюючою змінними випадкові величини і мають ^- розподіл відповідно із m-1 і n-m степенями вільності, а їх відношення - F-розподіл з тими самими степенями вільності. Тому рівняння регресії має значущість на рівні α, якщо фактично спостережене значення статистики , де - табличне значення F - критерію Фішера-Снедекора, визначене на рівні значущості α при k₁=m-1, k₂=n-m степенях вільності.

У випадку парної регресії m=2 і рівняння регресії значуще на рівні α, якщо . Коефіцієнт кореляції в термінах "сум квадратів" набуває вигляду: . Значущість рівняння

парної лінійної регресії може бути перевірена іншим способом, якщо оцінити значущість коефіцієнта регресії b₁. Можна показати, що при виконанні посилання 5 регресійного аналізу статистика має стандартний нормальний закон розподілу N(0;1), а якщо у виразі для замінити параметр його оцінкою , то статистика має t-розподіл з k=n-2 степенями вільності.

Тому коефіцієнт регресії b₁ значущий на рівні α, якщо , а довірчий інтервал для має вигляд:

.

Для парної регресійної моделі оцінка значущості рівняння регресії по F-критерію рівносильна оцінці значущості коефіцієнта регресії b₁ або коефіцієнта кореляції r по t-критерію, оскільки ці критерії зв'язані співвідношенням F=t². А інтервальні оцінки для параметра - при нормальному законі розподілу залежної змінної і співпадають.

При побудові довірчого інтервалу для дисперсії збурення виходять з того, що статистика має - розподіл з k=n-2 степенями вільності. Тому інтервальна оцінка для на рівні значущості має вигляд: .

◄Приклад 7.2 За даними табл. 7.1 оцінити на рівні α=0.05 значущість рівняння регресії Y по Х. Знайти інтервальну оцінку для параметрів β₁ і σ².

Розв’язання. Враховуючи, що b₁=1,016, , s²=1,049 (див. приклад 7.1, табл. 7.2), за формулою

.

За таблицею t-розподілу . , отже коефіцієнт регресії і рівняння парної лінійної регресії Y по X значущі.

Знайдемо 95%-ий довірчий інтервал для параметра β₁:

або .

Тобто з надійністю 0,95 при зміні потужності пласта Х на 1м добовий виробіток Y буде змінюватись на величину, що знаходиться в інтервалі від 0,537 до 1,495 (т).

_{Знайдемо 95%-ий інтервал для параметра σ}²: за таблицею для

- розподілу , .

Маємо

або і .

Таким чином, з надійністю 0,95 дисперсія збурень знаходиться в межах від 0.599 до 4.81, а їх стандартне відхилення – від 0,774 до

2,19 (т).►