Рангова кореляція

На практиці часто стикаються з необхідністю вивчення зв’язку між ординальними (порядковими) змінними, виміряними в так званій порядковій шкалі. В цій шкалі можна встановлювати лише порядок, в якому об’єкти вишикуються по степенях проявлення ознаки (наприклад, якість житлових умов, тестові бали, екзаменаційні оцінки). Якщо, наприклад, по деякій дисципліні два студента мають оцінки відмінно та задовільно, то можна стверджувати що рівень підготовки по цій дисципліні у першого студента вище (більше ) ніж у другого, проте не можна стверджувати на скільки або у скільки разів більше. Виявляється, що в таких випадках проблема оцінки тісноти зв’язку розв’язна, якщо розташувати об’єкти аналізу за степенями вимірюваних ознак. При цьому кожному об’єкту надається певний номер, який називається рангом. Наприклад, об’єкту з найменшим проявом ознаки присвоюється ранг 1, наступному - ранг 2 і так далі.

Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена знаходиться за формулою:

, де та - ранги і-го об’єкта по змінним Х та Y, n- число пар спостереження. Якщо ранги всіх об’єктів рівні, то . При повному зворотному зв’язку, коли ранги об’єктів по двом змінним розташовані у зворотньому порядку, можна показати, що

і . В усіх інших випадках .

При ранжуванні іноді стикаються з випадками, коли неможливо знайти відмінності між об’єктами за величиною прояву даної ознаки. Такі об’єкти, називаються зв’язаними. Зв’язаним об’єктам приписують однакові середні ранги. Наприклад, якщо чотири об’єкти виявилися рівнозначними по відношенню до деякої ознаки і не можливо визначити, який з чотирьох рангів (4, 5, 6, 7) приписати цим об’єктам, то кожному об’єкту приписують середній ранг, який дорівнює (4+5+6+7)/4=5.5.

При наявності зв’язаних рангів ранговий коефіцієнт кореляції Спірмена знаходиться за формулою: , де

, , та - кількість груп нерозпізнаних рангів у змінних Х та Y; та - кількість рангів, які входять в групу нерозпізнаних рангів змінних Х та Y.

При перевірці значущості виходять з того , що у випадку справедли-вості нульової гіпотези про відсутність кореляційного зв’язку між

змінними при n>10 статистика має t-розподіл Стьюдента з k=n-2 степенями вільності. Тому значуще на рівні , якщо , де - табличне значення t-критерія Стьюдента , визначене на рівні значущості при числі степенів вільності k=n-2.

◄ Приклад 2 За результатами тестування 10 студентів по двох дисциплінах А і В на основі набраних балів отримані наступні ранги (табл. 2.1). Обчислити ранговий коефіцієнт кореляції Спірмена і перевірити його значущість на рівні α=0,05.

Розв’язання. Відмінність рангів та їх квадрати помістимо в останніх двох рядках табл.1.

Таблиця 1

Ранги по дисциплінах	Студент, i										Всього
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
А ( )	2	4	5	1	7,5	7,5	7,5	7,5	3	10	55
В ( )	2,5	6	4	1	2,5	7	8	9,5	5	9,5	55
-	-0,5	-2	1	0	5	0,5	-0,5	-2	-2	0,5	-
	0,25	4	1	0	25	0,25	0,25	4	4	0,25	39

За формулою рангового коефіцієнта кореляції Спірмена

, .

Але ця формула не враховує наявність зв’язаних рангів. По дисципліні А маємо – одну групу нерозпізнаних рангів з ; по дисципліні B - – дві групи нерозпізнаних рангів з . Тому скористаємося формулою для зв’язаних рангів:

і

.

Для перевірки значущості обчислимо статистику

.

За таблицею . Оскільки - це означає, що ранговий коефіцієнт кореляції є значущим на рівні 5%. Отже, зв’язок між оцінками з двох дисциплін достатньо тісний. ►