Порівняння дисперсій декількох сукупностей

Нехай дано l нормально розподілених сукупностей, дисперсії яких дорівнюють відповідно , і l незалежних вибірок із кожної сукупності з об’ємами . Необхідно перевірити нульову гіпотезу про рівність дисперсій, тобто Н₀: або Н₀: (i=1,2,…,l).

Для перевірки гіпотези Н₀ може бути використано критерій Бартлетта. Доведено, що при вірності гіпотези Н₀ і при умові, що (i=1,2,…,l) статистика , в якій

— виправлена вибіркова дисперсія i-ї вибірки, — оцінка середнього арифметичного дисперсії) має -розподіл з l -1 степенями свободи. Тому гіпотеза Н₀ відкидається, якщо значення, що фактично спостерігається, , де — критичне значення критерію , знайдене на рівні значущості α при числі степенів свободи l – 1.

Перевірка гіпотез про закон розподілу. Критерій Колмогорова

На практиці окрім критерія часто використовується критерій Колмогорова, в якому в якості міри розходження між теоретичним та емпіричним розподілами розглядають максимальне значення абсолютної величини різниці між емпіричною функцією розподілу F_n(x) та відповідною теоретичною функцією розподілу , що має назву статистика критерію Колмогорова.

Доведено, що якою б не була функція розподілу F(x) неперервної випадкової величини Х, при необмеженому збільшенні числа спостережень ( ) ймовірність нерівності прямує до границі . Задаючи рівень значущості α, із співвідношення можна знайти відповідне критичне значення .

В табл.1 приводяться критичні значення критерію Колмогорова для деяких α.

Таблиця 1

Рівень значущості α	0,40	0,30	0,20	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005
Критичне значення	0,89	0,97	1,07	1,22	1,36	1,48	1,63	1,73	1,95	2,03

Схема застосування критерію Колмогорова наступна:

1. Будуються емпірична функція розподілу F_n(x) та передбачувана теоретична функція розподілу F(x).

2. Визначається міра невідповідності між теоретичним та емпіричним розподілами D та обчислюється величина _.

3. Якщо обчислене значення λ виявиться більшим за критичне , визначене на рівні значущості α, то нульова гіпотеза Н₀ про те, що випадкова величина Х має заданий закон розподілу, відкидається. Якщо , то вважають, що гіпотеза Н₀ не суперечить експериментальним даним.

◄Приклад 4. За даними приклада 3.8 та табл. 1.1 (розділи 3 і 1) за допомогою критерію Колмогорова на рівні значущості α=0,05 перевірити гіпотезу H₀ про те, що випадкова величина Х – виробіток робочих підприємства – має нормальний закон розподілу з параметрами a=119,2; , тобто N(119,2; 87,48).

Розв’язання. Значення емпіричної функції розподілу F_n(x), або накопиченої частості, обчислені в табл. 1.1, а її графік приведено на рис. 1.2б – ці значення та графік відтворюються відповідно в табл. 2. Для побудови теоретичної функції розподілу для нормального закону скористаємось її виразом через функцію Лапласа:

. Наприклад,

і т.д. Результати обчислень зведемо у табл. 2, а графік F(x) представимо на рис. 1.

Таблиця 2

x	94	100	106	112	118	124	130	136	142
Fn(x)	0,010	0,030	0,100	0,210	0,410	0,690	0,880	0,980	1,000
F(x)	0,004	0,021	0,080	0,221	0,449	0,695	0,878	0,964	0,993

Рис. 1

Із рис. 1 випливає, що .

Величина . Критичне значення критерію Колмогорова дорівнює . Оскільки , то гіпотеза H₀ узгоджується з експериментальними даними. ►

Критерій Колмогорова часто застосовується на практиці завдяки своїй простоті. Але його застосування можливо лише тоді, коли теоретична функція розподілу F(x) задана повністю. Тому, якщо при невідомих значеннях параметрів застосувати критерій Колмогорова, взявши за значення параметрів їхні оцінки, то отримаємо завищене значення ймовірності

, а отже і більше критичне значення . В результаті є ризик у ряді випадків прийняти нульову гіпотезу H₀ про закон розподілу випадкової величини як правдоподібну, в той час як насправді вона суперечить експериментальним даним.

Перевірка гіпотез про однорідність вибірок

Гіпотези про однорідність вибірок – це гіпотези про те, що вибірки, що розглядаються, вибрані з однієї і тієї ж генеральної сукупності. Нехай маємо дві незалежні вибірки, зроблені з генеральних сукупностей з невідомими теоретичними функціями розподілу F₁(x) та F₂(x). Нульова гіпотеза, що перевіряється, має вигляд H₀: F₁(x) = F₂(x) проти конкуруючої H₁: Будемо вважати, що функції F₁(x) та F₂(x) неперервні.

Критерій Колмогорова-Смирнова використовує ту ж ідею, що і критерій Колмогорова, але тільки в критерії Колмогорова порівнюється емпірична функція розподілу з теоретичною, а в критерії Колмогорова-Смирнова порівнюються дві емпіричні функції розподілу.

Статистика Колмогорова-Смирнова має вигляд:

,

де та – емпіричні функції розподілу, побудовані за двома вибірками об’ємів n₁ та n₂. Гіпотеза H₀ відкидається, якщо фактичне значення статистики , що спостерігається, більше критичного , тобто , та приймається в іншому випадку. При малих об’ємах вибірок ( ) критичні значення заданих рівнів значущості критерію можна знайти у спеціальних таблицях. При (а практично при ) розподіл статистики сходиться до розподілу Колмогорова для статистики . Тому гіпотеза H₀ відкидається на рівні значущості α, якщо фактично значення , що спостерігається, більше критичного , тобто , та приймається в протилежному випадку.

◄Приклад 5 Протягом місяця вибірково здійснювалась перевірка торгових точок міста з продажу овочів. Результати двох перевірок за недоваженостями покупцям одного виду овочів приведені в табл. 3. Чи можна вважати, що на рівні значущості α=0,05 за результатами двох перевірок (випадкових вибірок) недоваженості овочів описуються однією і тією ж функцією розподілу?

Розв’язання. Позначимо: та – накопичені частоти відповідно вибірок 1 та 2; – значення їхніх емпіричних функцій розподілу. Результати обчислень зведемо у табл. 4. З останнього стовпчика випливає, що . За формулою значення статистики, що спостерігається, при n₁=110, n₂=100 . За табл.1 при α=0,05, λ_0,05=1,36. Оскільки , то нульова гіпотеза H₀ не відкидається, отже, недоваженості покупцям описуються однією і тією ж функцією розподілу, тобто вони є стійким та закономірним процесом при продажу овочів у даному

місті. ►

Таблиця 3

Номер інтервалу	Інтервали недоваженостей, г	Частоти
		для вибірки 1	для вибірки 2
1	0–10	3	5
2	10–20	10	12
3	20–30	15	8
4	30–40	20	25
5	40–50	12	10
6	50–60	5	8
7	60–70	25	20
8	70–80	15	7
9	80–90	5	5
Σ		n1=110	n2=110

Якщо дані згруповані, то для перевірки однорідності двох чи кількох вибірок можна використовувати критерій . Нехай маємо l незалежних вибірок об’ємом n_i (i=1,2,…,l) та дані вибірки згруповані в m інтервалів (груп), а n_ij – число елементів j-ї вибірки, що потрапила в і-й інтервал. Перевіряється гіпотеза H₀ про те, що всі l вибірок вибрані з однієї і тієї ж генеральної сукупності. У якості статистики критерію використовується

величина

,

де .

У випадку справедливості гіпотези H₀ статистика має розподіл з (m-1)(l-1) степенями вільності.

До рангових відносяться також ряд критеріїв перевірки гіпотез про стохастичну незалежність елементів вибірки, таких як: критерій серій, оснований на медіані вибірки; критерій Аббе та ін.

Додаток 2