Перевірка гіпотез про рівність часток ознаки в двох і більше сукупностях

Порівняння часток ознаки в двох сукупностях — задача, яка досить часто зустрічається на практиці. Наприклад, якщо вибіркова частка ознаки в одній сукупності відрізняється від такої ж долі в іншій сукупності, то чи вказує це на те, що наявність ознаки в одній сукупності дійсно ймовірніше, а чи отримана розбіжність часток є випадковою?

Нехай дано дві сукупності, генеральні частки ознаки в яких дорівнюють відповідно і . Необхідно перевірити нульову гіпотезу про рівність генеральний часток, тобто Н₀: . Для перевірки гіпотези Н₀ із цих сукупностей взято дві незалежні вибірки достатньо великого об’єму (обмежимось розглядом випадку великих по об’єму вибірок) і . Вибіркові частки ознаки дорівнюють відповідно і , де і — відповідно число елементів першої і другої вибірки, що мають дану ознаку. При достатньо великих і вибіркові частки і мають наближено нормальний закон розподілу з математичним очікуванням і та дисперсіями і , тобто відповідно і . За умови вірності гіпотези Н₀: різниця має нормальний закон розподілу з математичним очікуванням і дисперсією . Тому статистика

має стандартний нормальний розподіл N(0;1). В якості невідомого значення p, що входить у вираз статистики t, беруть її найкращу оцінку , що дорівнює вибірковій частці ознаки, якщо дві вибірки змішати у одну, тобто . Вибір типу критичної області і перевірка гіпотези Н₀ здійснюється так само, як описано в розділі 3, при перевірці гіпотези про рівність середніх.

◄ Приклад 2 Контрольну роботу по вищій математиці по індивідуальних варіантах виконували студенти двох груп першого курсу. В першій групі було запропоновано 105 задач, з яких правильно розв’язано 60, а у другій групі із 140 запропонованих вірно розв’язаних 69. На рівні значущості 0,02 перевірити гіпотезу про відсутність значної різниці в засвоєнні навчального матеріалу студентами обох груп.

Розв’язання. Маємо гіпотезу Н₀: , тобто частки розв’язаних задач студентами першої та другої групи рівні. В якості альтернативної візьмемо гіпотезу Н₁: .

При вірності гіпотези Н₀ найкращою оцінкою p буде . Вибіркові частки розв’язаних задач для кожної групи і .

Статистика .

При конкуруючій гіпотезі Н₁ вибираємо критичну двосторонню область, границі якої визначаємо із умови ((3.7), розділ 3.): , звідки по таблиці . Фактичне значення критерію менше критичного, тобто , отже, гіпотеза Н₀ приймається, тобто отримані дані не суперечать гіпотезі про однаковий рівень засвоєння навчального матеріалу студентами обох груп. ►

Порівняння часток ознаки в кількох сукупностях

Нехай дано l сукупностей, генеральні частки яких дорівнюють відповідно . Необхідно перевірити нульову гіпотезу про рівність генеральних часток, тобто Н₀: або Н₀: (i=1,2,…,l). Для перевірки гіпотези Н₀ із цих сукупностей відібрано l незалежних вибірок достатньо великих об’ємів . Вибіркові частки ознаки дорівнюють відповідно , ,…, , де — число елементів і-тої вибірки (i=1,2,…,l), що мають дану ознаку.

Можна показати, що при справедливості гіпотези Н₀ і при статистика має -розподіл з l-1 степенями вільності. В якості невідомого значення , що входить у вираз, беруть найкращу оцінку для р, яка дорівнює вибірковій частці ознаки, якщо всі l вибірок змішати у одну, тобто .

Для перевірки гіпотези Н₀ зазвичай беруть правосторонню критичну область. Гіпотеза Н₀ відкидається, якщо , де — критичне значення критерію , що визначається на рівні значущості α при числі степенів свободи l-1.

◄ Приклад 3 За умовою прикладу 2 на рівні значущості α = 0,05 з’ясувати, чи можна вважати, що різниця у засвоєнні навчального матеріалу студентами чотирьох груп першого курсу значна. Додаткові умови: для третьої групи =63, =125, для четвертої групи =105, =160.

Розв’язання. Висунемо гіпотезу Н₀: або (i=1,2,3,4), тобто частки розв’язаних задач всіх груп рівні. Обчислимо оцінку : .

Вибіркові частки розв’язаних задач для кожної групи: , і . Статистика критерію

.

За таблицею значень критерію Пірсона . Оскільки (9,87>7,82), то гіпотеза Н₀ відкидається, тобто різниця в засвоєнні навчального матеріалу студентами чотирьох груп значна на рівні α=0,05.►