Показники варіації

Середні величини, розглянуті вище, не відображають мінливості (варіації) значень ознаки.

Найпростішим (і дуже наближеним) показником варіації є варіаційний розмах R, рівний різниці між найбільшою і найменшою варіантами ряду: .

Середнім лінійним відхиленням варіаційного ряду називається середнє арифметичне абсолютних величин відхилень варіант від їх середнього арифметичного:

Означення 1.6 Дисперсією варіаційного ряду називається середнє арифметичне квадратів відхилень варіант від їх середнього арифметичного:

(1.4)

Для незгрупованого ряду ( ) із формули (1.4) маємо:

.

Дисперсію називають емпіричною або вибірковою, підкреслюючи,

що вона (на відміну від дисперсії випадкової величини ) знаходиться за

дослідними або статистичними даними.

Бажано в якості міри варіації (розсіювання) мати характеристику, яка

виражається в тих самих одиницях, що і значення ознаки. Такою характеристикою є середнє квадратичне відхилення - арифметичне значення кореня квадратного з дисперсії

. (1.5)

В деяких випадках використовують таку характеристику, як коефіцієнт варіації, що дорівнює відсотковому відношенню середнього квадратичного відхилення до середнього арифметичного:

(1.6)

Якщо коефіцієнт варіації ознаки, набуває тільки позитивних значень, є

високим (наприклад, більше 100%), то, як правило, це свідчить про неоднорідність значень ознаки.

Основні властивості дисперсії, аналогічні властивостям дисперсії випадкової величини:

1. Дисперсія сталої дорівнює нулю.

2. Якщо усі варіанти збільшити (зменшити) в разів, то дисперсія збільшиться (зменшиться) в разів:

.

3. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) на одне і те саме число, то дисперсія не зміниться:

4. Дисперсія дорівнює різниці між середнім арифметичним квадратів варіант і квадратом середнього арифметичного:

5. Якщо ряд складається з декількох груп спостережень, то загальна дисперсія дорівнює сумі середнього арифметичного групових дисперсій і міжгрупової дисперсії (правило додавання дисперсій):

де - загальна дисперсія (дисперсія всього ряду);

- середня арифметична групових дисперсій,

де ; - міжгрупова дисперсія.

◄Приклад 1.6 Обчислити дисперсію, середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації розподілу робітників по виробітці за даними табл. 1.1.

Розв’язання. В прикладі 1.3 було одержано .

З означення дисперсії:

.

Середнє квадратичне відхилення ;

коефіцієнт варіації .►

◄Приклад 1.7 Є наступні дані про середні та дисперсії заробітної платні двох груп робітників (таблиця 1.3) . Знайти загальну дисперсію

розподілу робітників за заробітною платнею і коефіцієнт варіації.

Розв’язання. Знайдемо загальне середнє

Знайдемо середнє групових дисперсій

.

Знайдемо міжгрупову дисперсію:

.

Таблиця 1.3

Група робітників	Кількість робітників	Середня зарплатня одного робітника	Дисперсія зарплатні
Працюють на одному станку	40	2400	180 000
Працюють на двох станках	60	3200	200 000

Знайдемо загальну дисперсію :

.

Коефіцієнт варіації:

.►