11Equation Section 1ЗМІСТ

Вступ………………………………………………………………………..... 5

Розділ 1. Варіаційні ряди та їх графічне зображення. Середні величини. Показники варіації….........................................................................................6

Розділ 2. Основи математичної теорії вибіркового методу...............…… 25

Розділ 3. Математична теорія вибіркового методу. Визначення ефективних оцінок за допомогою нерівності Рао-Крамера-Фреше. Поняття інтервального оцінювання…...........................................................................................45

Розділ 4. Перевірка статистичних гіпотез…………………………....……. 68

Розділ 5. Дисперсійний аналіз………………………………………..…….. 91

Розділ 6. Кореляційний та регресійний аналіз. Основні положення кореляційного аналізу. Коефіцієнт кореляції….....................................................110

Розділ 7. Основні положення регресійного аналізу. Парна регресійна модель. Множинний регресійний аналіз….…................................................131

Розділ 8. Введення в аналіз часових рядів…………...…………………..151

Додаток 1. Перевірка гіпотез про рівність середніх більше двох сукупностей. Виключення грубих помилок спостережень.....................................172

Додаток 2. Поняття про багатовимірний кореляційний аналіз. Множинний та частинний коефіцієнти кореляції. Рангова кореляція……………………………………….………….................................. ..185

Додаток 3. Матриця коваріації і її вибіркова оцінка…………………......196

Додаток 4. Лінійні регресійні моделі фінансового ринку……...……......202

Список використаної та рекомендованої літератури ................................215

ВСТУП

Математична статистика – розділ математики, що вивчає математичні методи збору, систематизації, опрацювання та інтерпретації результатів спостережень з метою виявлення статистичних закономірностей. Математична статистика спирається на теорію ймовірностей. В теорії ймовірностей вивчають закономірності випадкових явищ на основі абстрактного описування дійсності. Задачі математичної статистики зводяться до розробки методів збирання та обробки статистичних даних будь-яких явищ, процесів суспільного та виробничого характеру, щоб дійти наукових висновків з досвіду організації цих явищ або процесів. Вивчення ймовірнісних моделей дає змогу зрозуміти різні властивості випадкових явищ на узагальненому рівні, без застосування експерименту. В математичній статистиці, навпаки, дослідження пов’язане з конкретними даними і просувається від практики до гіпотези і її перевірці.

Математична статистика розвивалася паралельно з теорією ймовірностей. Успіхи в теорії ймовірностей і математичній статистиці пов’язані з іменами Я.Бернуллі, К.Гаусса, А.Кетля, К. Пірсона., С.Пуассона та інших. Фундаментальні дослідження в математичній статистиці і теорії ймовірностей належать російським вченим П.Л. Чебишову, О.М. Ляпунову, А.А. Маркову, О.Я. Хинчину, С.Н. Бернштейну, А.М.Колмогорову.

РОЗДІЛ 1

Варіаційні ряди та їх графічне зображення. Середні величини. Показники варіації Варіаційні ряди та їх графічне зображення

Встановлення статистичних закономірностей починається з відомостей про те, які значення прийняла в результаті спостережень ознака, що нас цікавить, яку називатимемо «випадкова величина Х».

◄Приклад 1.1 Потрібно дослідити зміну виробітку одного робітника механічного цеху у звітному році порівняно з попереднім. Одержали наступні данні щодо розподілу 100 робітників цеху за виробітком у звітному році (у відсотках до попереднього року):

►

Різні значення ознаки (випадкової величини Х) називаються варіантами (позначення x).

Перший крок до опрацювання наявного статистичного матеріалу – це його впорядкування: розташування варіантів в порядку зростання (спадання), тобто ранжування варіантів ряду:

В такому вигляді вивчати виробіток робітників також не зовсім зручно, через надмірність числових даних. Через це розіб’ємо варіанти на окремі

інтервали, тобто проведемо їх групування.

Число інтервалів m слід брати не дуже великим, щоб після групуван-

ня ряд не був громіздким, і не дуже малим, щоб не втратити особливості ознаки. Рекомендована кількість інтервалів

_(1.1)

а величина інтервалів ( ширина інтервалу)

(1.2)

де – різниця між найбільшим і найменшим значенням ознаки.

В прикладі 1.1 . Візьмемо . Початком першого інтервалу рекомендується обрати величину . В нашому випадку . Згрупований ряд покажемо як таблицю (таблиця 1.1). Числа, що показують скільки разів зустрічались варіанти із даного інтервалу, називаються частотами (позначення ), а відношення їх до загального числа спостережень – частістю або відносною частотою, тобто . Частоти і частості називаються вагами.

Означення 1.1 Варіаційним рядом називається ранжований в порядку зростання (чи спадання) ряд варіант із відповідними їм вагами (частотами та частостями).

Одержаний варіаційний ряд дозволяє легко виявити закономірності розподілу робітників. При вивченні варіаційних рядів використовують також поняття накопиченої частоти ( ). Накопичена частота показує, скільки спостерігалось варіант зі значенням ознаки меншим за х. Відношення накопиченої частоти до загальної кількості спостережень назвемо накопиченою частістю .

Таблиця 1.1

i	Виробіток в звітному році в відсотках до попереднього	Частота (кількість робітників)	Частість (доля робітників)	Накопичена частота	Накопичена частість
1 2 3 4 5 6 7 8	94,0-100,0 100,0-106,0 106,0-112,0 112,0-118,0 118,0-124,0 124,0-130,0 130,0-136,0 136,0-142,0	3 7 11 20 28 19 10 2	0,003 0,007 0,11 0,20 0,28 0,19 0,10 0,02	3 10 21 41 69 88 98 100	0,03 0,10 0,21 0,41 0,69 0,88 0,98 1,00
	∑	100	1,00	-	-

Накопичену частоту (частість) для кожного інтервалу знаходять за допомогою сумування частот (частостей) всіх попередніх інтервалів, включно з даним (див. табл.1.1). Наприклад, для х = 124 накопичена частота =3 + 7 + 11 + 20 + 28 = 69, тобто 69 робітників мали виробітку меншу за 124%.

Варіаційний ряд називається дискретним, якщо будь-які його варіанти відрізняються на постійну величину, і – неперервним (інтервальним), якщо варіанти можуть відрізнятись одна від одної на яку завгодно малу величину. Так, варіаційний ряд в таблиці 1.1 - інтервальний (проценти виробітку умовно округлені до десятих). Прикладом дискретного ряду є розподіл 50 робітників механічного цеху по тарифному розряду (табл. 1.2).

Для графічного зображення варіаційних рядів найчастіше використовують полігон, гістограму, кумулятивну криву.

Таблиця 1.2

Тарифний розряд	1	2	3	4	5	6	∑
Частота (кількість робітників)	2	3	6	8	22	9	50

_{Полігон} використовують для зображення дискретного варіаційного ряду. Він являє собою ламану, в якої кінці відрізків прямої мають координати

Гістограма використовується тільки для зображення інтервальних варіаційних рядів і представляє собою ступінчасту фігуру із прямокутників з основами, що дорівнюють інтервалам значення ознаки , і висотами рівними частотам (частостям) інтервалів. Якщо з’єднати середини верхніх основ прямокутників відрізками прямої то можна одержати полігон розподілу.

Кумулятивна крива (кумулята) – крива накопичених частот (частостей). Для дискретного ряду кумулята представляє ламану, з’єднану точками або Для інтервалів варіаційного ряду ламана починається з точки, абсциса якої дорівнює початку першого інтервалу, а ордината – накопиченій частоті (частості), що дорівнює нулю. Інші точки цієї ламаної відповідають кінцям інтервалів.

Означення 1.2 Емпіричною функцією розподілу називається відносна частота (частість) того, що ознака (випадкова величина Х) прийме

значення, менше заданого х, тобто:

.

Тобто, для даного х емпірична функція розподілу представляє нако-

пичену частість .

◄ Приклад 1.2 Побудувати полігон (гістограму), кумуляту і емпіричну функцію розподілу робочих:

а) по тарифному розряду за даними табл. 1.2;

б) по виробітці за даними табл. 1.1.

Розв’язання. На рисунках 1.1 і 1.2 зображені полігон (гістограма), кумулята і емпірична функція розподілу для дискретного (табл. 1.2) і інтревального (табл. 1.1) варіаційних рядів відповідно. ►

Для інтервального варіаційного ряду (табл. 1.1) маємо тільки фун-

кцію розподілу на кінцях інтервалу (остання графа табл. 1.1).

Тому для графічного зображення варто її довизначити, з’єднавши точки графіка, що відповідають кінцям інтервалів, відрізками прямої. В результаті одержана ламана співпадає із кумулятою (див. рис. 1.2,б). Варіаційний ряд є статистичним аналогом (реалізацією) розподілу ознаки (випадкової величини Х). В цьому значенні полігон (гістограма) аналогічний кривій розподілу, а емпірична функція розподілу – функції розподілу випадкової величини Х.

На практиці, в більшості випадків, достатньо знати тільки зведені характеристики варіаційних рядів: середні; характеристики мінливості (варіації) та ін. Розрахунок статистичних характеристик є другим після групування даних етапом спостережень.