1.3. Перемикальні функції.

Мінімізація перемикальних функцій.

Функція = ґ(Х₁, Х₂,..., Х_п) називається перемикальню чи логічною (булевою, якщо вона приймає значення тільки 0 чи 1 і її аргументи також приймають значення 0 і 1. Задати перемикальну функцію - це значить вказати значення функції (0 чи 1) при всіх можливих комбінаціях значень аргументів. Кожну конкретну комбінацію значень всіх аргументів називають набором. Число Nх (наборів) можливих стані чи комбінацій значень сукупності n змінних: (ХІ, Х₂,..., Х_n), кожна з якій може незалежно від інших приймати два значення 0 чи 1, дорівнює N_х = 2ⁿ

Перемикальна функція n змінних y=f(XІ, Х₂,..., Х_n) визначається завданням її значень для кожної комбінації значень n змінних причому сама функція у також приймає тільки одне з двох значень: 0 чи 1. Якщо число наборів n змінних дорівнює Nx, то число можливих функцій

Так, якщо n = 2, то Nx = 4, Nу = 16; при n = 3, Nx = 8, Nу = 256; при n = 4Nх = 16;Nу = 65536 і т.д.

Повний набір Nу = 22х - 16 логічних функцій двох змінних даний у таблЛ.5. Кожна функція позначає одну з 16-и можливих логічних операцій над двома змінних XI і Х2 і має власну назву й умовну позначку .

Таблиця 1.5.

X1	0	0	1	1	Умовне позначення і алгебраїчний вираз	Назва функції
X2	0	1	0	1
Y0	0	0	0	0	Y0 =0	Постійний 0
Y1	0	0	0	1	Y1 = X1 X2	Кон’юнкція
Y2	0	0	1	0	Y2=X1X2 =	Заборона по Х2
Y3	0	0	1	1	Y3 = X1	Тотожність Х1
Y4	0	1	0	0	Y4=X2X1=	Заборона по Х1
Y5	0	1	0	1	Y5 = X2	Тотожність Х2
Y6	0	1	1	0	Y6=X1 X2 = X1 V X2	Що виключаєАБО (нерівнозначності)
Y7	0	1	1	1	Y7 =X1V X1	Диз’юнкція
Y8	1	0	0	0	Y8=X1↓X2=	Стрілка Пірса (АБО-НІ)
Y9	1	0	0	1	Y9=X1X2=	Рівнозначність (еквівалентність)
Y10	1	0	1	0	Y10 = X2	Інверсія Х2
Y11	1	0	1	1	Y11 =X2X1=	Імплікація від Х2 до Х1
Y12	1	1	0	0	Y12 =	Інверсія Х1
Y13	1	1	0	1	Y13 =X1X1=	Імплікація від Х1 до Х2
Y14	1	1	1	0	Y14=X1/X2=	Штрих Шиффера (І-НІ)
Y15	1	1	1	1	Y15 = 1	Постійна1

Логічні функції можуть мати різні форми представлення: словесне, табличне, алгебраїчне, числове.

Завдання функції словесним способом. Наприклад, функція трьох аргументів приймає значення 1, якщо два будь-яких чи всі три аргументи дорівнюють одиниці. У всіх інших випадках функція дорівнює нулю. Цим функція і логіка роботи відповідної схеми цілком задана.

Табличний спосіб. При цьому способі функція представляється у виді таблиці, у яку уписують усі можливі набори аргументів у порядку зростання їхніх номерів і для кожного набору встановлюють значення функції 0 чи 1. Наприклад, для визначення функції Ь^ £(Х, ,Х2 ,ХЗ) необхідно задати її значення на усіх восьми наборах значень аргументів. Як приклад складемо таблицю істинності для функції заданої в пункті 1 словесним способом (табл. 1.6)

Алгебраїчний спосіб. Щоб здійснити перехід від табличного представлення функції до алгебраїчного, кожному набору змінних ставиться, у відповідність мінтерм (конституента одиниці) - кон’юнкція всіх змінних котрі входять у прямому виді, якщо значення даної змінної в наборі дорівнює одиниці, або в інверсному виді, якщо значення змінної дорівнює нулю (див. табл. 1.7). Диз'юнкція мїнтермів називається складною с диз'юнктивною нормальною формою (СДНФ) функції

Інша алгебраїчна форма представлення функції виходить Іри використанні макстермів. Макстермом (конституентою 0) називається диз'юнкція всіх змінних. котрі входять у прямому виді, якщо значення даної змінної дорівнює нулю, або в інверсному виді, якщо значення змінної дорівнює одиниці (табл. 1.7). Кон’юнкція макстермів називається складною конюнктивною нормальною формою (СКНФ) функції

Таблиця1.6

Номер Набору	X1	X2	X3	X4
0 1 2 3 4 5 6 7	0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 0 0 1 0 1 1 1

Таблиця 1.7

Числовий спосіб. Для числового представлення функції в СДНФ під знаком суми перелічуються в зростаючому порядку номера наборів, на яких функція дорівнює одиниці. Наприклад,

Для СКНФ під знаком добутку перелічуються номери наборів, на яких функція дорівнює нулю. У даному прикладі це буде

Таким чином, можна здійснити перехід від таблиці істинності до алгебраїчного або числового представлення логічної функції, навпаки.

Будь-яку логічну функцію можна представити у виді СДНФ чи СКНФ, тобто за допомогою відповідної комбінації найпростіших логічних функцій І,АБО,НІ. Набір найпростіших функцій, за допомогою якого можна виразити будь-які інші, як завгодно складні логічні функції, називається функціонально-повним ф набором логічним базисом. Набір функцій І,АБО,НІ є одним з логічних базисів. Електронний пристрій, що реалізує одну з логічних функцій, називають логічним елементом. Логічні елементи, які використовуються для реалізації різних логічних функцій, зображені на мал. 1.2. Логічні елементи, що забезпечують виконання кожної з трьох основних лочіних операцій (І,АБО,НІ ), називають універсальними. Такими елементами є І-НІ (функція штрих Шеффера) і АБО-НІ (функція стрілка Пірса). За допомогою кожного з цих елементів можна реалізувати будь-яку логічну функцію. Ці елементи мають функціональну повноту.

Для функцій, що містять не більше п’яти - шести змінних, найбільш ефективним способом перебування мінімальної ДНФ є застосування карт Карно (діаграм Вейча). Карта Карно - це спеціального виду таблиця, яка використовується для завдання перемикальних функцій, і дозволяє спрощувати процес пошуку мінімальних форм.

Рис1.2 Умовне позначення логічних елементів а-І, б-АБО,

в-І-НІ, г-АБО-НІ, д-НІ з інверсією по входу, е-НІ, ж-І-АБО-НІ,

з-суматор по mod2

Карта Карно для функцій, що залежать від n змінних, являє собою прямокутник, розділений на 2" клітинок. Кожній клітинці карті ставиться у відповідність двійковий n-мірний набір. Взаємно однозначна відповідність між двійковими наборами і клітинами карти встановлюється розміткою останньої.

Карти Карно для функцій двох, трьох і чотирьох змінних показані на мал.1.3. Карти містять відповідно чотири, вісім і шістнадцять кліток. У кожній клітинці зображується один з можливих мінтермів.

Рис1.3 Карти Карно для функцій: а- двох змінних;

б- трьох змінних; в- чотирьох змінних

Щоб представити перемикальну функцію картою Карно, треба записати "1" у клітки, що відповідають тим наборам, на яких функція дорівнює одиниці, і "0" - у клітки, що відповідають тим наборам, на яких функція дорівнює нулю.

Процес одержання мінімальної ДНФ функції зводиться до об'єднання в групи сусідніх кліток карти (сусідніх по вертикалі і горизонталі), у яких записані одиниці. Сусідніми вважаються також клітки верхнього і нижнього рядів карти і клітки крайнього лівого і крайнього правого рядів (можна представити карту як розгорнення циліндра, вісь якого або вертикальна в залежності від зручності об'єднання, або горизонтальна).

При об'єднанні клітинок у групи необхідно виконувати наступні правила:

- кількість клітинок, що входять в одну групу, повинне виражатися числом 2k, де k = 0, 1, 2, 3,...;

- кожна клітинка, що входить у групу з 2k клітинок, повинна мати к сусідніх клітинок у групі.

Для одержання мінімальної ДНФ досить виконати наступні умови:

- кожна одинична клітинка повинна входити хоча б в одну групу (при цьому та сама клітей може входити в кілька груп);

- у кожну групу повинну входити максимальна кількість клітинок тобто жодна група, що задовольняє загальним вищенаведеним правилам, не повинна бути частиною іншої групи, що задовольняє цим же правилам;

- кількість груп повинна бути мінімальною. Кожній, групі об'єднаних між собою одиничних клітинок мінімальній ДНФ відповідає проста імпліканта. Вона визначається як кон’юнкція тільки тих змінних, значення яких постійні для всіх наборів, що задають клітей даної групи. Диз'юнкція простих імплікант і являє собою мінімальну ДНФ функції, заданою картою Карно.

Групі, що складається з 2к клітинок, відповідає кон’юнкція з (п - к) букв, де n- число змінних розглянутим функції.

ПРИКЛАД.

Знайти мінімальні диз'юнктивні і коньюктивні - нормальні форми функції

Карти Карно для цієї функції приведені на мал. 1.4. Для цієї функції можливі два варіанти об'єднання сукупності одиниць у групи і кожному варіанту відповідає своя МДНФ

Рис.1.4 Карти Карно для функції Y=f(X,1, X,2, X,3,)

Визначення МДНФ: а-б-варіанти об’єднання

Для одержання мінімальної конюнктивної. нормальної форми функції Г(Х1,Х2„ХЗ) варто об'єднати нулі (мал. 1.5 ). Мінімальна КНФ буде мати вид:

Рис.1.5.Карти Карно для функції f(X,1, X,2, X,3,).

Визначенням МКНФ

ПРИКЛАД.

Знайти мінімальну ДНФ для булевої функції чотирьох змінних:

Карта Карно для цієї функції показана на мал. 1.6.

Мінімальна ДНФ буде мати вид:

Рис.1.6 Карта Карно для функції f(X1, X2, X3 ,X4)

Розглянемо мінімізацію не цілком визначених перемикальних функцій. У схемах, закон функціонування яких визначений не цілком, деякі комбінації сигналів на входи ніколи не подаються. Ці комбінації вхідних сигналів називаються забороненими.

Для заборонених вхідних комбінацій вихідні сигнали не визначені, тобто метуть приймати будь-як значення - чи нуль одиницю. Звичайно до вихідних сигналі» на заборонених вхідних комбінаціях додають такі значення, при яких можна побудувати найбільш просту схему.

Робота схеми з забороненими комбінаціями вхідних сигналів описується не цілком визначеними перемикальними функціями, тобто функціями, значення яких визначені не на всіх наборах аргументів.

ПРИКЛАД.

Мінімізувати недовизначену перемикальну функцію, задану таблицею істинності (табл. 1.8). Невизначені значення на карті Карно (мал. 1.7) позначені рискою.

Таблиця 1.8.

Номер набору	X1	X2	X3	Y
0 1 2 3 4 5 6 7	0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 0 0 - - 1 1 -

Рис.1.7 Карти Карно не цілком визначеної перемикальної функції.

Приймаючи значення функції на деяких наборах рівними одиниці, а на інших - нулю, там, де функція не визначена, одержуємо ДНФ вихідної функції в наступній мінімальній формі:

Таким чином, недовизначені перемикальні функції мають додаткові (факультативні) умови для мінімізації.