1.2. Аксіоми й основні закони булевої алгебри
Проектування логічних схем здійснюється за допомогою спеціального математичного апарати Цей апарат запропонований у середині минулого століття ірландським математиком Дж. Булем і називається алгеброю Буля чи булевой алгеброю. Алгебра будується на базі трьох основних логічних операцій і відношенні еквівалентності (табл. 1.2):
АБО- диз'юнкція, логічне додавання;
І- кон’юнкція, логічне множення;
НІ - інверсія, логічне заперечення.
Таблиця 1.3.
Змінні
|
Диз’юнкція
|
Кон’юнкція
|
Інверсія
|
||
X1
|
Х2
|
X1 v Х2
|
X1 Х2
|
Х1
|
Х2
|
0 0 1 1 |
0 1 0 1
|
0 1 1 1 |
0 0 0 1 |
1 1 0 0 |
1 0 1 0
|
Таблиця 1.3 називається таблицею істинності для АБО операції І-НІ. У цій таблиці представлені аксіоми операцій диз'юнкції, кон’юнкції й інверсії.
З зіставлення таблиць істинності АБО і І. виявляється наступна закономірність. операції І можна поміняти місцями, якщо 1 поміняти, на 0, а 0 поміняти на 1 і знаки диз'юнкції ,на знаки кон’юнкції, те АБО рядок перетворюється в рядок І навпаки (табл. 1.4).
Таблиця 1.4
АБО |
І |
0V0=0 |
1*1=1 |
0V1=1 |
1*0=0 |
1V0=1 |
0*1=0 |
1V1=1 |
0*0=0 |
Якщо X у Х2 = У, то ХІ*Х2 = V; якщо; ХІ*Х2 = У; то X, у Х2 =У. Ця властивість є відображенням принципу подвійності в булевой алгебрі.
З відношення еквівалентності випливає принцип суперпозиції (підстановки): якщо ХІ = Х2, то в будь-якій формулі, що містить ХІ, замість ХІ можна підставити Х2 , і в результаті буде отримана еквівалентна формула.
Закони булевої алгебри випливають з ,аксіом і також мають дві форми вираження: для кон’юнкції і диз'юнкції. Їх правильність легко перевірити по таблицях істинності або шляхом підстановки 0 і 1 замість відповідних значень змінних.
Аксіоми для однієї змінної і константи охоплюють усі випадки операцій над змінною X і константами 0 і 1:
Основні закони булевої алгебри, що дозволяють робити різні тотожні перетворення формул булевої алгебри:
1) перестановчий (комутативний) закон
2) сполучний (асоціативний) закон
3) розподільний (дистрибутивний) закон
4) закон поглинання
Х1, v Х1 Х2 = X1 (X1 поглинає X1 Х2);
X1 (X1 V X2 ) = X1 (X1 поглинає X1 v Х2);
5) закон склеювання
Х1Х2 V X1X2 =X2 (склеювання по Х1 )
(Х1 VX2)(Х1 v Х2 ) = Х2 , (склеювання по Х1 )
6) закон іденпотентності
7) закон де Моргана (закон інверсії)
Для декількох змінних
