4. Цифрові автомати з пам'яттю

Математичною моделлю дискретного пристрою з кінцевою пам'яттю є абстрактний автомат А. Автомат А задається множинами X, Y, Z, а також двома функціями  і . Автомат

де - множина вхідних сигналів (вхідний алфавіт);

- множина вихідних сигналів (вихідний алфавіт);

- множина станів (алфавіт станів);  - функція переходів автомата;  - функція виходів автомата; z₀ є Z - початковий стан автомата.

Абстрактний автомат (мал.4.1) має один вхідний і один вихідний канали. У кожен момент t=0,l,2,... дискретні моменти автомат знаходиться у визначеному стані Z(t) з безлічі Z станів автомата, причому в початковий момент t=0 він завжди знаходиться в початковому стані z (о) = Z_o. У момент t, будучи в стані z(t), автомат здатний сприйняти на вхідному каналі сигнал x(t) X і видати на вихідному каналі сигналY(t)=(z(t),(t)), переходячи в стан z(t+1)=(z(t),x(t)), z(t)Z. y(t)Y.

Рис. 4.1. Абстрактний автомат

Зміст поняття абстрактного автомата полягає в тому, що він реалізує деяке відображення безлічі слів вхідного алфавіту X у безліч слів вихідного алфавіту Y, тобто, якщо на вхід автомата, встановленого в початковий стан z₀, подавати буква за буквою деяку послідовність букв вхідного алфавіту Х(0), Х(1), Х(2),..., що є вхідним словом, то на виході автомата будуть послідовно з'являтися букви вихідного алфавіту Y(0), Y(l), Y(2),..., (вихідне слово). Звідси до кожного вхідного слова видається відповідне йому вихідне слово. Таким чином, одержуємо відображення Y, індуковане абстрактним автоматом.

Розрізняють детерміновані і ймовірнісні автомати. У детермінованих автоматах функції переходів і виходів однозначні: кожній парі z(t) і x(t) відповідає єдина пара z(t+l) і y(t). Це значить, що вихідний сигнал автомата в момент часу t і стан, у яке він переходить у момент t+l, однозначно визначаються станом і значенням вхідного сигналу в момент часу t. Більшість реальних схем працюють як детерміновані автомати. Надалі будемо розглядати тільки детерміновані автомати.

Структурний автомат, на відміну від абстрактного, має кілька елементарних вхідних і вихідних каналів, по яких можуть передаватися елементарні сигнали. Тут враховується структура вхідних і вихідних сигналів, а також внутрішній пристрій автомата на рівні найпростіших схем, кінцева множина символів;, відображених різними елементарними сигналами і поданих (прийнятих) на один вхід (вихід) структурного автомата, що називаються структурним алфавітом. Найчастіше використовують двозначний структурний алфавіт, що складається з двох символів: нуль і одиниця. Кожен вхідний і вихідний сигнали абстрактного автомата представляються набором букв структурного алфавіту.

4.1 • Автомати Мілі, Мура і С – автомати

У залежності від способу визначення значень рихідних сигналів абстрактні автомати підрозділяються на автомати Мілі і Мура. Закон функціонування автоматів Мілі задається рівняннями:

Z(t+1)=(Z(t),X(t)); Y(t)=(Z(t),X(t)), де Z(0) = z₀ - початковий стан автомата; t=0,l,2,... - дискретні моменти.

Функція (Z,X) визначає наступний стан автомата і називається функцією переходів. Функція (Z,X) визначає значення вихідних сигналів і називається функцією виходів автомата. Структура автомата Мілі зображена на мал.4.2. Схема складається з трьох блоків: комбінаційної схеми, що формує функцію порушення q елементарних автоматів Q(KC1); схемы пам`яті (СП); комбінаційної схеми виходів (КС2).

Закон функціонування автоматів Мура задається у вигляді:

Z(t+1)= (Z(t),X(t)); Y(t)= (Z(t)).

Рис. 4.2. Структура автомата Мілі

Функція (Z,X) називається функцією переходів, а функція (Z) - функцією виходів автомата Мура. На відміну від автомата Мілі вихідні сигнали автомата Мура залежать тільки від поточного стану автомата й у явному виді не залежать від вхідних сигналів. Структура автомата Мура приведена на рис.4.З. Схема складається з трьох блоків: комбінаційної схеми, що формує функцію порушення q елементарних автоматів Q(KC1); схеми пам'яті; комбінаційної схеми виходів, на яку подаються тільки сигнали Q.

Рис. 4.3. Структура автомата Мура

Існують прості способи переходу від автомата Мілі до еквівалентного йому автоматові Мура і навпаки.

На практиці часто використовується сполучена модель Мілі-Мура, що називається З-автоматом. Відмінність З-автомата від моделей Мілі і Мура полягає в тім, що він одночасно реалізує дві різні функції виходів ₁ і ₂, кожна з яких характеризує одну з цих моделей.

С- автомат описується функцією переходів і функціями виходів:

Z₁(t+1)= (Z(t),X(t)); Y₁(t)= (Z(t),X(t)),

Y₂(t)= ₂(Z(t)), t=0,1,2…

Рис. 4.4, Абстрактний С-автомат

Абстрактний С-автомат показаний на рис.4.4, а його структура - на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Структура С-автомату

Розрізняють синхронні й асинхронні автомати. У синхронних автоматах за допомогою послідовності синхроімпульсів, загальних для автомата і зовнішнього середовища, увесь час поділяється на інтервали-такти. Усі переходи автомата синхронізовані тактами. Послідовності тактів можна поставити у відповідність з послідовністю натуральних чисел і розглядати роботу автомата в дискретному часі: t, t+1, t+2,...

Робота асинхронних автоматів розглядається також у дискретному часі. Такт асинхронного автомата визначається не генератором синхроімпульсів, а часом перебування автомата в сталому стані. Спосіб опису асинхронного абстрактного автомата не відрізняється від способу опису синхронного автомата. Однак у поводженні автоматів маються визначені відмінності. Так, у синхронному автоматі сигнал X на вході незалежно від його тривалості розглядається як один. Для синхронного автомата час дії одного вхідного сигналу відповідає одному такту. У зв'язку з цим у синхронному автоматі можлива, наприклад, послідовність вхідних сигналів X₁ ,X₁, Х₁ ,Х₂, Х₃. В асинхронному автоматі така послідовність буде сприйнята як послідовність Х₁, Х₂, Х₃. Асинхронний автомат під дією деякого вхідного сигналу X_і завжди переходить у відповідний стійкий стан. Завершенням перехідного процесу і відзначається початок чергового такту. Дискретні пристрої найчастіше проектуються як синхронні. Асинхронні автомати в основному використовуються для виконання допоміжних функцій, наприклад, для синхронізації паралельно працюючих автоматів.