2.4 Модель seir

2.4.1 Теоретические сведения

SEIR-модель (“Susceptible–Exposed–Infected–Removed model”), являющаяся модификацией SIR–модели. В этой модели учитывается возможность того, что червь может иметь некий «инкубационный период», во время которого вирус не наносит какого-либо вреда инфицированному узлу. Обычно червь заражает уязвимый узел (S) до входа в свою латентную стадию. В течение латентного периода (Е, Exposed) узел считается зараженным, но не распространяет вирус. Через некоторое время он становиться способным к заражению других хостов (I) и далее становиться «излеченным» (R). В SEIR-модели требуется дополнительно вводить соотношение, характеризующее отношение между состояниями E и I.[1]

2.4.2 Математическое описание модели SIR

Математическая модель представляет собой систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными и начальными условиями:

1. Эпидемический процесс:

a) dX(t)/dt = - [λ/P(t)]×[X(t)×∫Y(τ,t)dτ];

b) ∂U(τ,t)/∂τ + ∂U(τ,t)/∂t = - γ(τ)×U(τ,t);

c) ∂Y(τ,t)/∂τ + ∂Y(τ,t)/∂t = γ(τ)×U(τ,t) - δ(τ)×Y(τ,t)};

d) dZ(t)/dt = ∫δ(τ)×Y(τ,t)dτ;

2. Граничные условия: a) U(0,t) = [λ/P(t)]×[X(t)×∫Y(τ,t)dτ];

b) Y(0,t)=0;

3. Начальные условия: a) X(t0) = α×P(t0); Z(t0) = (1-α)×P(t0);

b) U(τ,0) = U(τ); при 0 <τ< τu;

c) Y(τ,0) = Y(τ); при 0 <τ< τy,

где: t>0 – календарное время развития эпидемии (дни); τ>0 – «внутреннее» время развития инфекционного процесса; λ – средняя частота передачи возбудителя от инфекционных больных Y(t) к восприимчивым X(t); γ(τ) – функция развития периода инкубации; δ(τ) – функция развития инфекционного периода; P – население территории, пораженной гриппом (тыс. чел.); α>0 – доля восприимчивых среди населения[1].

2.4.3 Описание алгоритма функционирования модели SEIR в заданной сети

Для функционирования модели необходимо случайным образом распределить инфекционные узлы. Затем в цикле вызывается функция, в которой производится процесс вероятностного заражения и восстановления узлов сети. Внутри этого же цикла производится отсчёт времени, равный периоду.

Функция расчёта состояния узлов, упомянутая выше, работает ниже приведённым образом. В функцию передаются в качестве параметров: скорость взаимодействия узлов между собой (число контактов за период), вероятность заражения восприимчивого узла при взаимодействии с инфицированным узлом, время восстановления инфицированного узла (переход из инфицированного состояния в неуязвимое), время нахождения узла в латентном состоянии. Также в функцию передаётся количество инфицированных, неуязвимых и восприимчивых узлов на данный момент. Далее производится поиск инфицированного узла, который случайным образом взаимодействует с другими узлами. Факт взаимодействия с узлом или отсутствие этого взаимодействия носит вероятностный характер. Число таких взаимодействий ограничено числом связей инфицированного узла, а также числом взаимодействий за период. Далее производится заражение восприимчивого узла с вероятностью, переданной в качестве параметра. Если восприимчивый узел был инфицирован, то запоминается время его инфицирования. Этот узел становится латентно заражённым (инфицированным, но не распространяющим инфекцию). Затем производится проверка, не прошло ли время нахождения каждого латентного узла, в таком состоянии. Если это время прошло, то узел становится способным распространять инфекцию. Далее производится проверка, не прошло ли время восстановления для каждого инфицированного узла. Если это время прошло, то инфицированный узел становится неуязвимым.

2.4.4 Блок-схема алгоритма функционирования модели SEIR в заданной сети