Введение

Информационные технологии заняли прочное место в современной экономике. Современная экономика основана на знаниях и передовых технологиях, которые стали основой основ современного общества. Поэтому программирование, как двигатель развития информационных технологий, в настоящее время значительно превосходит многие другие виды деятельности.

Сегодня программировать становится все легче с приходом новых возможностей и технологий. Для того чтобы освоить определенный язык программирования нужно уметь работать с компьютером и иметь в запасе много терпения и времени.

Delphi была и до сих пор является лучшим сочетанием объектно-ориентированного программирования и визуального программирования не только для Windows, но также для Linux. С ее возможностями можно создавать приложения любой сложности. Структурированность и простота Delphi делает его одним из совершенных языков программирования.

Также программирование может помочь в учебе, например, создание программ для вычисления уравнений различной сложности и других математических задач. Реализация математических задач на компьютере происходит поэтапно:

• выбирается метод решения (строится математическая модель);

• разрабатывается алгоритм решения данной задачи;

• составляется программа;

• реализуется программа на компьютере;

• анализируются полученные результаты.

Решение систем линейных уравнений является одной из важных вычислительных задач. Большинство задач вычислительной практики сводятся к решению систем линейных уравнений. Это задачи из области электротехники, радиоэлектроники, механики, статистики. Серьезные практические задачи часто приводят к таким системам, которые содержат сотни и даже тысячи линейных уравнений. Без помощи компьютера, эти системы решить невозможно.

В данной работе речь пойдет о программе для вычисления системы линейных уравнений методом Крамера. Метод Крамера - это метод решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (то есть в случае, когда система уравнений имеет единственное решение).

1 Постановка задачи

Темой моей курсовой работы является разработка программы «Решение линейных уравнений методом Крамера». Далее будут приведены примеры и решения, которые помогут в составлении алгоритма для создания программы .

Линейные уравнения. Линейным уравнением называется уравнение вида ax + b = 0, где x - переменная, a и b - некоторые действительные числа.

Условия:

Если a = b = 0, то решением уравнения ax + b = 0 является любое число.

Если a = 0 и b≠0, то уравнение корней не имеет.

Если a ≠ 0, то уравнение ax + b = 0 называется линейным и имеет ровно одно решение x= −ab.

Пример 1

Решите уравнение x = 1.

Решение:

Корнем этого уравнения является число 1, поскольку при подстановке вместо x этого числа получается верное числовое равенство.

Ответ. 1.

Пример 2

Решите уравнение 0 ∙ x + 1 = 0.

Решение:

Имеем:

Это уравнение не имеет решений, поскольку ни при каких значениях переменной (которая, очевидно, явно не входит в уравнение) равенство 1 = 0 не имеет место.

Ответ. Нет решений.

Пример 3

Решите уравнение 0 ∙ x + 1 = 1.

Решение:

Имеем:

Решением этого уравнения является любое действительное число. В самом деле, при любом значении переменной равенство 1 = 1 является верным.

Ответ. x − любое число.

Системы линейных уравнений. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь m — количество уравнений, а n — количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ =b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы— совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему обращает все её уравнения в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Метод Крамера (правило Крамера)— способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704—1752), предложившего этот метод в 1750 г.

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы ∆, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме метод Крамера справедлив без предположения, что ∆ отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b₁, b₂,…,b_n и x₁, x₂,…,x_n, либо набор c₁, c₂,…,c_n состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Решение:

Пример:

Определители: