15.Векторы.Оновные понятия

Скалярная величина - величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина,площадь, масса, температура и т.д.

Вектором называется направленный отрезок  ; точка   - начало, точка   - конец вектора (рис. 1).

Вектор обозначается либо двумя большими буквами - своим началом и концом:   либо одной малой буквой:  .

Определение

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым. Чаще всего нулевой вектор обозначается как  .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

Определение

Два коллинеарных вектора   и   называются сонаправленными, если их направления совпадают:  (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора   и   называются противоположно направленными, если их направления противоположны:   (рис. 3, б).

Определение

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4).

Два вектора всегда компланарны.

Определение

Длиной (модулем) вектора   называется расстояние между его началом и концом: 

Подробная теория про длину вектора по ссылке.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

Иначе говоря, два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины:

 , если 

В произвольной точке   пространства можно построить единственный вектор  , равный заданному вектору  .

16.Векторы. Действия над векторами

Линейными операциями над векторами называют сложение (вычитание) векторов и умножение вектора на число. 2.1. Сложение векторов. Определение 2. Суммой векторов   и   называется вектор  , соеди-няющий начало вектора   с концом вектора   при ус-ловии, что к концу вектора   приставлено начало век-тора   (правило треугольников). Обозначение :    Н К  Н  К Рис.1.2. Сложение векторов по правилу треугольников Определение 3. Сумма двух векторов   , приведен-ных к общему началу 0, есть вектор-диагональ   па-раллелограмма 0АСВ, построенного на векторах (пра-вило параллелограмма) А    С 0    В    Рис. 1.3. Сложение векторов по правилу параллелограмма Сложение нескольких векторов на плоскости производится при помощи последовательного применения правила треугольника. В результате этого по-лучается результирующий вектор, который направлен из начала первого век-тора суммы к концу последнего (правило многоугольника). При сложении трех векторов, не лежащих в одной плоскости (в прост-ранстве), применяется правило параллелепипеда: сумма трех таких векторов 0А, 0В, 0С, приведенных к общему началу 0 представляет собой вектор-диа-гональ 0Д параллелепипеда, построенного на слагаемых векторах (рис.1.4) Д С В А  0 Рис. 1.4. Сложение векторов по правилу параллелепипеда Для любых векторов   и   справедливо неравенство треугольника  . ^ 2.2. Вычитание векторов. Вычитание векторов определяется как операция, обратная сложению. Определение 4. Разностью двух векторов   и   называется такой век-тор   который нужно сложить с вектором  , чтобы получить вектор  . При этом возможны те же два способа (правила) вычитания векторов: правило треугольника (рис.1.5а) и правило параллелограмма (рис.1.5б) К 0  Н - Н К  0 Н   К  а) б) Рис.1.5. Вычитание векторов ^ 2.3. Умножение вектора на число (скаляр). Определение 5. Произведением вектора   на число λ называется век-тор  , модуль которого равен произведению модуля вектора   на модуль числа λ , а направление совпадает с направлением вектора  , если   и противоположно направлению вектора  , если  . При  , или  = 0 считают вектор   нулевым. Из приведенных вы-ше определений вытекают следующие свойства линейных операций: 1).   (переместительность сложения векторов – комму- тативность). 2).   (сочетательность сложения векторов – ассоциати-вность). 3).   (существование противоположного вектора). 4).   (существование нулевого вектора). 5).    6).   (ассоциативность умножения на число). 7).   (распределительность или дистрибутивность ум-ножения векторов на числа относительно сложе-ния векторов). 8).   (дистрибутивность умножения векторов на числа относительно сложения чисел).