14.Общие системы лин.Алг.Равнений, условия совместости и методы решения условие совместности общей линейной системы

Теорем1 (теорема Кронекера – Капелли). Для того чтобы система m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных  (6.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А и ранг расширенной матрицы  системы (6.1) были равны, т. е. rang A  rang  r.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

Теорем2. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т. е. r = n, то система (6.1) имеет единственное решение.

Теорема3. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т. е. r < n, то система (6.1) обладает бесконечным множеством решений, зависящих от n – r произвольных параметров.

1.  – система несовместна.

2.  – система имеет единственное решение.

3.  – система имеет бесконечно много решений.

Общим решением системы называется представление базисных неизвестных через свободные.

Пусть дана общая система линейных уравнений (14) и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (14)является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (14) составим матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n

……………………

a_m1 a_m2 … a_mn

которую назовем основной матрицей системы (14), и матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

B = a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

……………………… …… (26)

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

которую назовем расширенной матрицей системы (14).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (14) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть система (14) совместна и c₁, c₂, ..., с_п – некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n = b₁;

а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n = b₂;

_. ……………………………………

а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n = b_m

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (26) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с₁, с₂, ..., с_п. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В

может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, c_z, ..., с_п — решение системы уравнении (14), то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (14) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т. е.

b₁ = а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n ;

b₂ = а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n ;

_. …………………………………

b_m = а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n,

где c₁, c₂, ..., с_п — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (27) удовлетворяют значения x₁ = c₁, ..., х_п = с_п, следовательно, она совместна. Т е о р е м а д о к а з а н а.

Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера – Капелли.

Прямые методы решения СЛАУ:      Метод Крамера      Метод обратной матрицы      Метод Гаусса