1. Матрицы. Основные определения.

2. m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа -номер строки и номер столбца.

3. Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами:   - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

4. 

5. Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:

6.  - множество всех матриц размера m на n;

7.  - матрица A с элементами   в позиции (i,j);

8.  - матрица размера m на n.

9. Элементы   , где i=j, называются диагональными, а элементы   , где   - внедиагональными. Совокупность диагональных элементов   , где k = min (m,n), называется главной диагональю матрицы.

11. 2. Классификация матриц: квадратная,диагональная и т.Д. Транспонирование матриц.

13. Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

15. Определение.Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

17. Определение. Матрица вида:

18. = E,

19. называетсяединичной матрицей.

21. Определение. Если a_mn = a_nm, то матрица называется симметрической.

22. Определение.Квадратная матрица вида называетсядиагональной матрицей.

24. Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

25. А = ; В = А^Т= ;

27. другими словами, b_ji = a_ij.

29. Определение. Если все элементы матрицы расположенные ниже диагонали равны нулю, то матрица называется диагональной.

31. 3. Матрицы. Основные действия над матрицами.

33. Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

34. Определение.Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

35. 

36. c_ij = a_ijb_ij

 Пусть m и n два произвольных натуральных числа.Матрицей размера m на n (записывается так   )называется совокупность m*n вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Определение:Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A B = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е.:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е.:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:

(AB) = (A)B = A(B).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.