21. Угол между двумя векторами. Ортогональные векторы.
Угол
между двумя ненулевыми векторами равен
величине угла AOB,
где O –
произвольная точка, вектор 
равен
одному из данных векторов, а вектор 
равен
другому данному вектору. Доказывается,
что он не зависит от выбора общего
начала O векторов.
Определение.
Два вектора называются
ортогональными, если угол междуними
равен прямому углу, т.е. 
.
Обозначение: 
–
векторы 
и 
ортогональны.
Определение.
Тройка векторов 
называется
ортогональной, если эти векторы попарно
ортогональны друг другу, т.е. 
, 
.
22. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Геометрический смысл.
Определение векторного произведения
Три
некомпланарных вектора
,
и
,
взятые указанном порядке, образуют
правую тройку, если с конца третьего
вектора
кратчайший поворот от первого вектора
ко второму вектору
виден совершающимся против часовой
стрелки, и левую, если по часовой
(см. рис. 16).
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:
1) перпендикулярен векторам
и
,
т.е.
и
;
2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (см. рис.17), т.е.
, где
,
3
)
векторы
и
и
образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается
или
.
Из определения векторного произведения
непосредственно вытекают следующие
соотношения между ортами
,
и
(см. рис. 18):
, 
, 
.
Докажем, например, что .
1)
;
2)
,
но
;
3) векторы , и образуют правую тройку (см. рис. 16).
С
войства
векторного произведения
1. При перестановке сомножителей
векторное произведение меняет знак,
т.е.
(см. рис.19).
Векторы
и
коллинеарны,
имеют одинаковые модули (площадь
параллелограмма остается неизменной),
но противоположно направлены (тройки
,
,
и
,
,
противоположной ориентации). Стало
быть
.
2. Векторное произведение обладает
сочетательным свойством относительно
скалярного множителя, т.е.
.
Пусть
.
Вектор
перпендикулярен векторам
и
.
Вектор
также перпендикулярен векторам
и
(векторы
и
лежат в одной плоскости). Значит, векторы
и
коллинеарны.
Очевидно, что и направления их совпадают.
Имеют одинаковую длину:
и
.
П
оэтому
.
Аналогично доказывается при
.
3. Два ненулевых вектора
и
коллинеарны
тогда и только тогда, когда их векторное
произведение равно нулевому вектору,
т.е.
.
Если
,
то угол между ними равен
или 180°. Но тогда
.
Значит,
.
Если
же
,
то
.
Но тогда
или
,
т.е.
.
В частности,
.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
.
Примем без доказательства.