18.Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Условие линейной зависимости.

19.Разложение вектора по базисным ортам. Направляющие косинусы.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox,Oyи Oz единичные векторы (орты), обозначаемые , , соответственно (см. рис 12).

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: .

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями обозначим соответственно через M₁, М₂ и М₃. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда пр_х , пр_y , пр_z . По опре-

делению суммы нескольких векторов находим .

А так как , то

. (5.1)

Но

. (5.2)

Обозначим проекции вектора на оси Ox, Oy и Oz соответственно через , и , т.е. , , . Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа , , называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: .

Равенство означает, что

Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать , т.е.

.

Отсюда

т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора с осями Ox, Oy и Oz соответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось, имеем

(5.5)

Или, что то же самое,

Числа называются направляющими косинусами вектора .

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

Сократив на получим соотношение

т.е. сумма направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

20. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.

Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается (или ). Итак, по определению,

(6.1)

где .

Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как (см. рис. 14), а то получаем

(6.2)

т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: .

, а . И так как , как произведение чисел и , то .

2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством:

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

В частности:

Если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль , т.е.

Пример 6.1. Найти длину вектора если .

Решение:

5. Если векторы и (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. если , то . Справедливо и обратное утверждение: если и , то .

Так как , то Следовательно Если же и , то . Отсюда , т.е. . В частности:

.