Тема 3. Вектор силы, операции над силами
3.1. Проекции силы
Пусть
в трехмерном пространстве задана ось
L,
направление которой указано вектором
единичной длины
(направляющим вектором), и вектор
,
начало которого находится в т. А,
а конец, ─ в т. В
(рис. 3.1).
Через точки А и В проведем перпендикулярно оси L две плоскости: П1 и П2. Параллельно оси L через точку А проведем направление n.
Дадим определение.
Проекцией вектора на ось называется скалярная величина равная произведению модуля вектора на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.
То
есть проекция вектора
на ось
,
которую мы обозначим
,
равна
.
Можно дать и другое определение проекции вектора на ось.
Проекцией вектора на ось называется скалярное произведение вектора на направляющий вектор оси.
Действительно, 
,
где
─ угол между направлением вектора
и
единичного вектора
.
Рис. 3.1
Численно величина проекции вектора на ось равна отрезку АС или отрезку А1С1, а знак проекции зависит от величины угла:
при
проекция силы положительна,
при
─ отрицательна,
при
─ равна нулю.
Рассмотрим некоторые частные случаи проектирования вектора на ось:
Рис. 3.2
Проекцией вектора на плоскость называется вектор, заключенный между проекциями начала и конца вектора на эту плоскость.
Так
на рис. 3.3 вектор
является проекцией вектора
на плокость Oxy.
Если вектор задан выражением
,
то аналитическое выражение проекции этого вектора на плоскость Oxy можно получить, приравняв к нулю проекцию вектора на ось z:
.
Рис. 3.3
Аналогично проектируется сила и на две другие плоскости.
Модуль этого вектора равен:
Для определения проекции силы на ось удобно сначала спроектировать силу на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию спроектировать на ось.
Этот прием называют методом двойного проектирования.
Заметим, что
Проекции вектора на параллельные оси равны.
Проекции вектора на параллельные плоскости геометрически равны.
3.2. Способы задания силы
Рассмотрим
силу
,
которая представлена вектором с началом
в точке
и с концом в точке
(рис. 3.4).
Для указания точки приложения силы используем радиус-вектор
,
соединяющий начало системы координат и точку приложения силы.
Проекции
вектора
на координатные оси равны координатам
точки
,
в которой приложена сила
.
Рис. 3.4
Информация о величине и направлении силы может быть представлена двумя способами.
Первый способ
Представим вектор силы в виде произведения (рис. 3.5, а)
,
где
− модуль силы, а
− единичный вектор, указывающий
направление силы (направляющий вектор):
,
где
− направляющие косинусы вектора (рис.
3.5, а):
.
Чтобы
таким способом задать вектор, необходимо
знать углы
и значение его модуля −
.
Второй способ
Вектор может быть представлен в виде суммы трех векторов (рис. 3.5, б), каждый из которых направлен вдоль соответствующей координатной оси:
.
Составляющие вектора в свою очередь равны:
, 
, 
,
где
,
,
− проекции вектора
на координатные оси (рис. 3.5, б).
Чтобы так задать вектор необходимо знать три его проекции , , .
Переход от одного представления к другому выполняется просто.
Допустим, что вектор задан вторым способом, при котором известны три его проекции − , , .
Рис. 3.5
Тогда модуль вектора можно найти как диагональ параллелепипеда:
,
а направляющие косинусы, для которых выполняется известное соотношение
,
определить с помощью деления:
В
случае, когда вектор лежит в одной
координатной плоскости, например в
плоскости
,
формулы упростятся и приобретут следующий
вид:
,
причем
.