Условия уравновешенности произвольной пространственной системы сил
Сформулируем теперь условия, при которых произвольная пространственная система сил будет уравновешенной.
Система сил в общем случае заменяется одной силой и одной парой, но сила и пара не могут уравновесить друг друга.
Следовательно, для уравновешенности системы сил требуется, чтобы не было ни силы, ни пары.
Отсюда получаются приведенные ниже в трех формах условия уравновешенности произвольной пространственной системы сил.
Для того чтобы произвольная пространственная система сил была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:
1. В векторной форме:
главный вектор системы сил и главный момент системы сил относительно некоторой точки должны быть равны нулю:
или
(7.3)
2. В геометрической форме:
силовой многоугольник и многоугольник моментов должны быть замкнуты.
3. В аналитической форме:
суммы проекций сил на каждую из координатных осей и суммы моментов сил относительно каждой из координатных осей должны быть равны нулю:
или 
(7.4)
Таким образом, в статике для произвольной пространственной системы сил в общем случае можно составить шесть уравнений равновесия.
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СИСТЕМ СИЛ
В частных случаях, когда на систему сил наложены какие-либо ограничения, число необходимых уравнений равновесия может быть меньше шести, поскольку часть из них будут являться тождествами вида.
Рассмотрим примеры.
Сходящаяся система сил
Если линии действия всех сил системы проходят через одну точку, то моменты сил относительно этой точки (или любой проходящей через нее оси) будут равны нулю.
В этом случае уравнения моментов оказываются тождествами (т. е. выполняются автоматически); тогда для системы сходящихся сил остаются только уравнения проекций сил, которые нами записаны как уравнения (4.6):
Система пар сил
Если система сил состоит только из пар, для каждой из которых, как известно, сумма векторов сил равна нулю, то уравнения проекций сил оказываются тождествами.
Тогда для системы пар остаются только уравнения сумм проекций моментов пар, которые были записаны нами как уравнения (6.7):
Система параллельных сил
Пусть линии действия всех сил параллельны друг другу (рис. 7.4). Направим ось z параллельно этим силам. В этом случае являются тождествами уравнения проекций сил на оси х и у, а также уравнения моментов сил относительно оси z.
Тогда остаются три уравнения:
Рис. 7.4
(7.5)
которые называются уравнениями равновесия пространственной системы параллельных сил.
7.5. Теорема вариньона
Пьер Вариньон (1664-1722) — французский математик и механик. Один из основателей геометрической статики. Вариньон впервые дал общее решение задачи сложения параллельных сил, ввел силовой многоугольник и установил свойство силы как скользящего вектора.
ТЕОРЕМА
Момент равнодействующей системы сил относительно любой точки или оси равен сумме моментов всех сил системы относительно этой точки или оси.
Доказательство
Пусть
некоторая система сил
(система I)
имеет равнодействующую
,
приложенную в точке О
(система II).
Очевидно, что системы I
и II
эквивалентны: 
.
Рассмотрим любую точку пространства — точку А.