6.3. Пара сил, момент пары

В предыдущем параграфе, суммируя параллельные противоположно направленные силы, мы вводили существенное условие: , иначе сделанное построение не удалось бы.

При , имеет место особый случай. Дадим определение:

Парой сил (или просто парой) называется система из двух равных по модулю, противоположно направленных параллельных сил.

Рис. 6.4

Система сил, образующих пару, не является уравновешенной, что следует из аксиомы 1. В то же время пара сил не имеет равнодействующей, и ее нельзя уравновесить одной силой. Поэтому свойства пары должны изучаться отдельно. Пара есть особая мера механического взаимодействия.

Сила и пара сил представляют собой два базовых неупрощаемых элемента статики

Рассмотрим пару, состоящую из сил и (рис. 6.4).

Для них выполняется условие и, следовательно, главный вектор этих сил равен нулю:

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары.

Расстояние между линиями действия сил пары h называется плечом пары.

Введем теперь понятие момента пары.

Моментом пары называется вектор , направленный перпендикулярно плоскости действия пары в такую сторону, чтобы, глядя навстречу ему, видеть вращение, осуществляемое парой, происходящим против часовой стрелки (рис. 6.4), и равный по модулю произведению модуля силы на плечо пары:

(6.3)

Размерность модуля момента пары [m] = Нм.

Очевидно, что модуль момента пары равен площади параллелограмма, построенного на силах пары.

ТЕОРЕМА

Сумма моментов сил, составляющих пару, одинакова относительно любой точки пространства и всегда равна моменту пары.

Доказательство

Рассмотрим сумму моментов сил и относительно произвольной точки пространства О (рис. 6.5).

Преобразуем ее, введя обозначения , и используя определение момента силы и условие .

Полученная величина действительно не зависит от выбора точки О.

Легко видеть, что этот вектор направлен так же, как и момент , а по модулю равен модулю момента:

Таким образом

Следствие

Если в качестве центра О последовательно выбирать точки А и В, то можно получить, что

,

.

Рис. 6.5

то есть

момент пары сил равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы пары.

6.4. ТЕОРЕМА ОБ УСЛОВИЯХ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПАР

ТЕОРЕМА

Две пары, имеющие векторно-равные моменты, эквивалентны друг другу.

Справедливость этой теоремы равносильна справедливости следующих трех утверждений (трех более простых теорем).

1. Можно сделать любыми величины модулей сил и плеча пары, сохраняя их произведение, т. е. модуль мо­мента пары.

2. Пару можно переносить в любое другое положение в плоскости ее действия (в пределах данного тела).

3. Пару можно переносить на параллельную плоскость действия.

Приведем доказательство этих утверждений.

1-е утверждение (Теорема об изменении плеча и силы пары)

Можно сделать любыми величины модулей сил и плеча пары, сохраняя их произведение, т. е. модуль мо­мента пары.

Рис. 6.6

Доказательство

• Пусть в точках и к твердому телу приложены равные по модулю силы, образующие пару с плечом (рис.6.6, а). Момент этой пары равен

• Приложим в точке С (середина отрезка ) (рис.6.6, б) систему произвольных по величине сил:

, которая уравновешена, так как

• Сложив параллельные силы

получим пару сил приложенных в точках и (рис. 6.6, в), положение которых определяется пропорцией:

,

из которой следует, что

и далее, что

• Момент пары сил будет равен

.

Первое утверждение доказано.

2-е утверждение (Теорема о повороте сил пары в ее плоскости)

Пару можно переносить в любое другое положение в плоскости ее действия (в пределах данного тела).

Доказательство

• Проведем две параллельные прямые и , расположенные на расстоянии d друг от друга. Под углом к ним проведем еще две такие же прямые и .

• Пусть на прямых и лежат силы и , образующие пару (рис.6.7), алгебраический момент которой равен .

Рис. 6.7.

• Перенесем силы и вдоль линий их действия и в точки А и В.

• По направлениям и приложим две уравновешенные системы сил, которые равны по модулю силам и :

, так как

и , так как,

причем .

• Сложим силы по правилу параллелограмма (в данном случае параллелограмм имеет форму ромба):

• Полученные силы и равны, противоположно направлены = , лежат на одной прямой и, следовательно, по I аксиоме образуют уравновешенную систему, которая может быть исключена.

• Оставшиеся силы образуют систему, которая эквивалентна заданной системе сил и . Убедимся, что момент пары в результате проделанных эквивалентных преобразований не изменился:

Второе утверждение доказано.

3-е утверждение (Теорема о переносе пары в параллельную плоскость)

Пару можно переносить на параллельную плоскость действия.

Доказательство

• Пусть к твердому телу приложена пара сил с плечом (рис.6.8), которые лежат в плоскости .

• Параллельно плоскости проведем плоскость и проведем на ней отрезок , который равен и параллелен отрезку .

• В точках и приложим две уравновешенные системы сил,:

, так как и , так как ,

силы которых равны по модулю

.

• Сложим параллельные силы и направленные в одну сторону силы, приложенные в противоположных углах параллелограмма:

, .

Результирующие силы и равны по модулю, противоположно направлены и приложены в одной точке, совпадающей с точкой пересечения диагоналей параллелограмма, поэтому они образуют уравновешенную систему , которую можно исключить.

Рис. 6.8.

• Оставшиеся две силы образуют пару сил , которая эквивалентна заданной паре и имеет тот же момент, но расположена в параллельной плоскости.

Все три утверждения доказаны:

ни величина модуля силы, ни размер плеча, ни направление сил пары значения не имеют. Существенной характеристикой пары является только ее момент.

Доказанные утверждения, позволяют преобразовывать и переносить пару, сохраняя при этом вектор ее момента неизменным.

ВЫВОД:

момент пары — вектор свободный. Он не связан с какой-либо точкой или линией действия и может быть перенесен параллельно в любую точку тела.