Аналитический способ определения главного момента
Для
определения главного момента системы
сил относительно центра О необходимо
сложить
моментов сил:
Поскольку равны векторы, стоящие в левой и правой частях последнего равенства, должны быть равны и их проекции на любую ось.
Спроектируем это равенство на оси х, у, z:
, (5.10)
где 
−
главные моменты сил системы относительно
координатных осей, проходящих через
центр О,
а
− моменты сил системы относительно тех
же осей.
Далее определим модуль главного момента:
(5.11)
и его направляющие косинусы:
(5.12)
Рассмотрим случай, когда главный момент равен нулю.
В этом случае модуль главного момента будет равен нулю:
или 
Последнее равенство возможно только если все слагаемые под корнем равны нулю, то есть если
или 
(5.13)
Вывод:
Главный момент системы сил относительно некоторого центра О будет равен нулю в том случае, когда все три суммы моментов исходных сил системы относительно осей проходящих через центр О будут равны нулю.
Зависимость главного момента от выбора точки приведения
Пусть задана произвольная система сил система (рис. 5.5), главный момент которой относительно центра А равен
Выберем
новый центр приведения − точку B,
относительно которой положение старого
центра
A
определяется радиус-вектором
,
а положение некоторой
-й
силы системы − радиус-вектором
,
который равен
Определим главный момент системы сил относительно нового центра B.
Первое слагаемое представляет собой векторное произведение радиус-вектора на главный вектор системы:
,
а второе слагаемое равно главному моменту системы относительно старого центра приведения A:
В результате получаем, что при перемене центра приведения главный момент меняется по закону
(5.14)
Рис.5.5
Выводы:
В отличие от главного вектора главный момент зависит от положения центра приведения и поэтому не является инвариантом системы сил,
Если для некоторого главный вектор системы равны нулю ( ), то главный момент для всех точек пространства будет одинаков, поскольку в соответствии с формулой (5.14).
Если для некоторого центра A главный момент и главный вектор системы равны нулю (
и
),
то главный момент будет равен нулю и
относительно любого другого центра.
Моменты сил, расположенных в одной плоскости
Плоской системой называется система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
Из рис. 5.6 видно, что при расположении всех сил системы на одной плоскости вектора моментов сил системы относительно точек плоскости расположены к этой плоскости перпендикулярно.
Все вектора моментов расположены параллельно друг другу и для указания их направления достаточно одного знака − знака проекции вектора на ось z, перепендикулярную к плоскости.
Рис. 5.6
По этой причине при рассмотрении плоских систем под моментом силы относительно точки на самом деле понимают скалярную величину: момент силы относительно оси z, проходящей через моментную точку перпендикулярно к плоскости действия сил.
То
есть 
Величина момента равна произведению силы на плечо:
.
Если момент направлен против часовой стрелки − он считается положительным. При переходе к векторному представлению такое правило знаков соответствует знаку проекции вектор-момента на ось z.
Сложив моменты всех сил системы относительно точки О, получим скалярную величину – главный алгебраический момент плоской системы сил относительно точки О:
