6. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида: y"+py'+qy=f(x), где p, q – постоянные коэффициенты, а f(x) – некоторая функция, называют линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы рассмотрим уравнение для случаев когда f(x)=0. Если f(x)=0, то уравнение y"+py'+qy=0 называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение такого дифференциального уравнения, как показал Эйлер, следует искать в виде следующих функций: у = е^кх, где к – некоторый коэффициент. Подставим значения у' = ке^кх и у" = к²е^кх, найденные из этой функции в уравнение. Тогда получим: к²е^кх + кpе^кх + qe^кх = 0 или е^кх(к² +pк +q) = 0; е^кх ≠ 0.

Для того чтобы функция у=е^кх была решением дифференциального уравнения, достаточно, чтобы к² +pк +q = 0.

Это уравнение называют характеристическим уравнением и корни его определяются по формуле:

к_1,2 = -

Эйлер показал, что для ЛОДУ может быть три вида решений:

1-ый вид: если корни к₁ и к₂ характеристического уравнения действительные и различные (к₁ ≠ к₂), то все решения ЛОДУ даются формулой:

у = с₁ ∙ + с₂ ∙ .

2-ой вид: если корни к₁ и к₂ характеристического уравнения действительные и равные к₁ = к₂ = к, то все решения ЛОДУ даются в виде такой формулы: у = (с₁ + с₂) е^кх.

3-й вид: если же корни к_1,2 = ; (i = ) характеристического уравнения комплексные числа, то все решения ЛОДУ даются такой формулой: у = е^αx(с₁cos βx+c₂sin βx), где с₁ и с₂ - произвольные постоянные.

Все приведенные выше три вида решений представляют собой общее решение ЛОДУ. Частные решения находят по заданным начальным условиям:

Пример: у"–6у'+8у = 0; к²-6к +8 = 0; к_1,2 =3 ; к₁ =4; к₂ =2;

у = с₁ ∙ е^4х + с₂ ∙ е^2х.

Лекция №3 элементы теории вероятности и математической статистики.

1.Случайное событие. Вероятность случайного события.

В теории вероятностей исследуются закономерности, относящиеся к случайным событиям, величинам, процессам. Теория вероятностей служит для обоснования математической и прикладной статистики.

В естественных науках понятие «статистика» означает анализ массовых явлений, основанный на применении методов теории вероятности. Математическая статистика – это наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятности, позволяющую оценить надежность и точность выводов на основе ограниченного статистического материала. Среди множества методов познания биологических процессов теория вероятности с математической статистикой занимает одно из важных мест.

Массовые явления и процессы характеризуются, прежде всего, многократным повторением при постоянных условиях некоторых опытов, операций и т.д. Всякий факт какого-либо испытания, эксперимента или действия называют событием. Событие – это исход испытания. События называются достоверными, если они происходят неизбежно в результате каждого испытания и невозможными, если в результате каждого испытания они не могут произойти.

Одним из важных понятий теории вероятности является понятие «случайного события». Случайным событием называется всякий факт, который в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти. Например, случайными будут события: успешная сдача студентом экзамена, вспышка эпидемии, появление герба при бросании монеты, попадание в цель при выстреле. Рассматривая множество событий, можно предположить, что для каждого случайного события объективно существует специфическая мера возможности его появления в данном опыте, называемая вероятностью события. Эта безразмерная величина, служащая в некотором смысле «мерой случайности» события, характеризующая степень его близости к достоверному событию.

Вероятность любого события А обозначается символом Р(А) или Р_А или Р.

Классической вероятность Р(А) события А называется отношение числа случаев m , благоприятствующих событию А, к общему числу случаев n (n –мало): Р(А) = .

Вероятность любого события А удовлетворяет двойному неравенству: 0 ≤ Р(А) ≤1, так как вероятность достоверного события равна 1; невозможного – 0.

Если же имеется возможность неограниченного повторения испытания, то при достаточно большом n испытаний интересующее нас событие А может произойти m раз, а отношение Р^* (А) = - называется относительной частотой события А или просто частотой события А. Частоту события иначе называют статистической вероятностью. При большом числе испытаний частота события примерно постоянная величина.

В ряде случаев вычислить вероятность события оказывается проще, если представить его в виде комбинации более простых событий. Этой цели служат теоремы сложения и умножения вероятностей. Пусть события А и В несовместны и известны их вероятности. Вероятность осуществления либо события А, либо события В определяется теоремой сложения.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В).

Доказательство: Пусть n – общее число испытаний; m₁ – число случаев, благоприятствующих событию А; m₂ – число случаев, благоприятствующих событию В. Число случаев, благоприятствующих наступлению события А, либо события В, равно m_{1 +} m₂. Тогда

Р(А или В) = = Р(А) + Р(В).

Пример: Найти вероятность выпадания “1” или “6” при бросании игральной кости. Событие А (выпадание 1) и В (выпадание 6) является равновозможными: Р(А) = Р(В) = ; Р(А или В) = + = .

Теорема умножения вероятностей заключается в следующем. Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей. Для двух событий: Р(А и В) = Р(А) · Р(В).

Доказательство: Пусть m₁ - число случаев, благоприятствующих событию А; m₂ - число случаев, благоприятствующих событию В; n₁ – число равновозможных случаев , в которых событие А появляется или нет. n₂ - число равновозможных случаев , в которых событие В появляется или нет. Общее число случаев, благоприятствующих совместному появлению событий А и В равно m₁ m₂. Общее число возможных элементарных событий испытания равно n₁ n₂ (число событий n₁ может сочетаться с каждым из n₂ событий). Вероятность совместного появления событий А и В –

Р(А и В)= = Р(А) · Р(В).

Пример: В одной урне находится 5 черных и 15 белых шаров, в другой – 3 черных и 17 белых шаров. Найти вероятность того, что при первом вынимании шаров из каждой урны оба шара окажутся черными:

Р(А и В) = Р(А) · Р(В) = .