13. Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли для струйки вязкой несжимаемой жидкости. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости. Вывод. Физический и геометрический смысл.
В
ыделим
в элементарной струйке (рис. 13.1) двумя
сечениями и
некоторую массу жидкости и составим
уравнение кинетической энергии для
этой массы. За время
выделенная масса, переместившись из
положения между сечениями
,
займёт положение между сечениями
.
Область между сечениями
можно разбить на три объёма:
,
и
.
По условию сплошности масса
равна массе
.
Рис. 13.1
Приращение
кинетической энергии при перемещении
выделенной массы из положения
в положение
Учитывая, что движение установившееся, кинетическая энергия объёма ( ) за время не изменится:
Рассмотрим значения составляющих уравнения. Для объёма ( ) величина кинетической энергии
приращение массы
кинетическая энергия
Аналогично
Тогда приращение кинетической энергии рассматриваемой массы
где
весовой расход, одинаковый для всех
сечений.
При рассмотрении идеальной жидкости к выделенному объёму приложены силы тяжести, силы давления жидкости на боковые и торцовые его поверхности. Для несжимаемой жидкости, внутренняя энергия рассматриваемого объёма не изменяется при его перемещении, и в уравнение кинетической энергии входит только работа внешних сил.
Учитывая, что вес жидкости в объёме (с) работу не совершает, рассмотрим значение работы сил тяжести при перемещении жидкости заключённой в объёме (а) в положении (b).
где
и
– расстояние до центров тяжести объёмов
(а)
и (b)
от плоскости давления. Можно рассматривать
и
с
точностью до малых высшего порядка как
ординаты центров сечений 1 и 2.
Работы сил давления на боковые поверхности взаимно уничтожаются. Работа сил давления на торцы
Следовательно, уравнение кинетической энергии запишется в виде
Поделим это уравнение на и в левую часть поместим члены этого уравнения с индексом 1, а в правую – 2.
В результате имеем
Учитывая, что , получаем
Это и есть уравнение Бернулли для элементарной струйки. Его можно представить в разностной форме
или, обозначая разности между величинами в виде приращений,
При
неограниченном сближении сечений
и
уравнение можно представить в
дифференцированной форме
Так как сечения 1 и взяты произвольно, то уравнение Бернулли можно также записать в виде
Рассмотрим
вначале геометрическое истолкование.
Отнеся струйку к горизонтальной плоскости
,
напишем уравнение Бернулли для двух
сечений этой струйки
г
де
–
геометрическая высота центра тяжести
сечения над плоскостью
;
пьезометрическая высота;
скоростная высота.
Для
каждого сечения элементарной струйки
величина H
может быть представлена совокупностью
отрезков
и
Соединив между собой концы отрезков H, получим кривую или плоскость, называемые плоскостью или линией полного напора.
Соединив
кривой концы отрезков
,
получим линию, называемую пьезометрической
линией.
Итак,
рис. 13.2 даёт геометрическое изображение
уравнения Бернулли. Можно видеть, как
по длине струйки меняются слагаемые
уравнения. Если сечение расширяется,
то уменьшается скоростной напор, но
возрастает
сумма
Если
рассматривать уравнение Бернулли как
уравнение энергии, то каждое слагаемое
этого уравнения следует рассматривать
как составляющую полной энергии
(потенциальную или кинетическую) и
каждое из этих слагаемых должно измеряться
в единицах работы. Составляющие уравнения
имеют линейную размерность, и, чтобы
перевести это уравнение в уравнение
работы, надо умножить его на единицу
силы. При умножении его на 1Н
уравнение не изменится, но размерность
будет выражена в
и будет представлять собой энергию
единицы веса жидкости, проходящей через
данное сечение. Такую энергию называют
удельной. В соответствии с этим:
–
удельная энергия положения (потенциальная);
удельная потенциальная энергия давления;
удельная кинетическая энергия.
Легко видеть, что с энергетической точки зрения уравнение Бернулли показывает, что сумма потенциальной энергии (положения и давления) и кинетической энергии есть величина постоянная.
Таким образом, уравнение Бернулли представляет собой физический закон сохранения механической энергии при движении идеальной жидкости.