12. Режимы течения. Понятие о пограничном слое. Модель идеальной жидкости.

Определение ламинарного и турбулентного режимов течения. Ламинарное течение в круглых трубах и переход к турбулентному течению. Распределение скоростей при турбулентном течении в трубах. Раскрыто понятие пограничного слоя. Описана модель идеальной жидкости.

Наблюдения показывают, что в природе существует два различных режима движения жидкости: во-первых, слоистое, упорядоченное или ламинарное движение (lamina – слой), при котором отдельные слои жидкости скользят друг относительно друга, не смешиваясь между собой; и во-вторых, неупорядоченное и называемое турбулентным (turbulentus – вихревой) движение, когда частицы жидкости движутся по сложной, всё время изменяющейся траектории и в жидкости происходит интенсивное перемешивание.

Физическая характеристика условий, определяющих режим движения жидкости, была найдена английским физиком Осборном Рейнольдсом в 1883 г.

Опытная установка Рейнольдса (рис. 12.1) состоит из бака с водой, к которому присоединена стеклянная труба В. Открывая частично вентиль С, можно обеспечить движение воды в трубе с различными скоростями.

Из сосуда Д по трубке Е в её устье поступает подкрашенная жидкость. При малых скоростях течения воды в трубе окрашенная струйка не размывается окружающей водой, имея вид натянутой нити. Поток в этом случае называется ламинарным. При увеличении скорости движения в трубе окрашенные струйки получают вначале волнистое очертание, а затем почти внезапно начинают размываться по всему сечению трубы и окрашивая всю жидкость. Движение жидкости становится неупорядоченным, отдельные частицы окрашенной жидкости движутся в разных направлениях, сталкиваясь друг с другом, ударяются о стенки и т.д. Такое движение жидкости называется турбулентным. Основная особенность турбулентного движения – наличие поперечных составляющих скорости. Опыты Рейнольдса показывают, что переход от ламинарного движения к турбулентному происходит при определённой скорости, которая, однако, для разных жидкостей и для разных диаметров труб оказывается различной, возрастая с увеличением вязкости и уменьшаясь с уменьшением диаметра трубы.

Основываясь на проведённых опытах, Рейнольдс установил общие условия, при которых возможно существование ламинарного и турбулентного режима и переход от одного к другому. Оказалось, что режим движения жидкости зависит от вязкости жидкости  её плотности , средней скорости течения V и геометрических размеров живого сечения, например для трубы диаметра d. Характеристикой режима может служить безразмерный комплекс величин: l, , , V.

Это число, называемое числом Рейнольдса, имеет вид

Значение числа Рейнольдса, при котором происходит переход от ламинарного течения к турбулентному, называется критическим числом Рейнольдса и обозначается

При  – режим турбулентный, при  – режим ламинарный.

Величина зависит от условий входа, поверхности стенок, наличия начальных возмущений и т. д.

Достаточно точными измерениями движения жидкости в круглых гладких трубах, на участках достаточно удалённых от выхода и при отсутствии возмущений установлено, что при _. 2320 режим движения будет устойчиво ламинарным.

Следует отметить, что при переходе из ламинарного в турбулентное движение имеет значительно большую величину (до 20000).

Что же характеризует число Рейнольдса? Кинетическая энергия элемента жидкости пропорциональна его объёму V² l³ . Работа сил вязкости зависит от размера поверхности объёма  l² V. Отношение кинетической энергии элемента жидкости к работе сил вязкости

Следовательно, число характеризует относительную величину сил вязкости по отношению к силам инерции.

Определим закон, по которому распределяются скорости по поперечному сечению трубы при установившемся ламинарном режиме движения жидкости.

Как отмечалось, ламинарное движение имеет слоистый характер и происходит без перемешивания частиц. Один слой движется по другому и между ними возникает сила трения, напряжение  которой определяется законом внутреннего трения Ньютона:

где местная скорость.

С другой стороны для слоя жидкости на расстоянии y от стенки трубы касательное напряжение определяется формулой

Сопоставляя эти выражения, найдём

Интегрируем это уравнение:

Граничным условием для нахождения является условие равенства нулю скорости на стенке, так как частицы жидкости соприкасающиеся со стенками прилипают к ним, т. е. здесь U =0 и С =0 (т. к. у =0).

Обозначим через а расстояние от оси до рассматриваемого слоя жидкости:

После подстановки получим

Формула известна под названием закона Стокса. Она выражает закон изменения скорости в точках поперечного сечении трубы в зависимости от расстояния точки от оси трубы. Это распределение описывается параболой второй степени (рис. 12.2).

У стенок трубы ( ) скорость равна нулю.

На оси трубы (а = 0) скорость имеет максимальное значение