16. Дифференциальное уравнение массы

Это уравнение в технике получило название уравнения неразрывности или сплошности. Выделим в потоке движущейся жидкости неподвижный элементарный объем со сторонами dx, dy и dz и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него в направлении осей Ox, Oy и Oz за время d (рис. 2.1).

dM_x

dM_x+dx

dM_y

dM_z

dM_z+dz

dM_y+dy

Рис. 2.1

В направлении оси Ox в объем втекает масса жидкости

(а)

Через противоположную грань объема вытекает масса жидкости

.

Ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, получаем, что масса M _x+dx, вытекающая из элементарного объема в направлении оси Ox, равна

(б)

Вычитая (а) из (б), получаем излишек массы жидкости, вытекающий из элементарного объема в направлении оси Ox:

(в)

где dV=dxdydz.

Аналогичным образом для направлений по осям Oy и Oz имеем:

(г)

(д)

Суммируя равенства (в), (г) и (д), получаем полный избыток массы жидкости, вытекающей по всем трем направлениям из элементарного объема. Этот избыток обусловливается изменением плотности жидкости в объеме dV и равен изменению массы данного объема во времени Производя сокращение dV и d и перенеся все члены в левую часть равенства, окончательно получим дифференциальное уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности или сплошности) для сжимаемых жидкостей

(2.1)

Для несжимаемых жидкостей, плотность которых постоянна, =const, получаем следующее уравнение

(2.2)

Как видно, уравнение (2.1) или (2.2) не позволяет определить поле скоростей, так как в одно уравнение входят три неизвестные функции:

w _x=w _x(x, y, z, ); w _y=w _y(x, y, z, ); w _z=w _z(x, y, z, ).

Необходимо добавить еще уравнения. Таким уравнением может быть уравнение закона сохранения энергии.