13. Стационарная теплопроводность многослойной цилиндрической стенки.

Так как общее линейное термическое сопротивление состоит из частных линейных термических сопротивлений, то совершенно очевидно, что для многослойной цилиндрической стенки нужно учитывать линейное термическое сопротивление каждого слоя. Тогда линейная плотность теплового потока через многослойную цилиндрическую стенку, состоящую из n слоев, равна

(3.36)

По аналогии с плоской многослойной стенкой температура на границе любых двух цилиндрических слоев i и i+1 может быть определена по уравнению

(3.37)

Если коэффициент теплопроводности материала стенки является функцией температуры вида , то линейная плотность теплового потока определяется тем же соотношением (3.33), но вместо  в него надо подставить _СР, определяемое формулой

(3.38)

В этом случае для нахождения температурного поля можно использовать уравнение Фурье, записанное для цилиндрической стенки

(3.39)

(3.40)

14. Дифференциальные уравнения Навье-Стокса (движения жидкости).

Это уравнение векторное и в проекциях на оси выбранной системы координат дает три уравнения. Вывод дифференциального уравнения движения в общем случае требует громоздких математических выкладок. Поэтому для упрощения вывода рассмотрим одномерное течение жидкости. Выделим в потоке вязкой жидкости, как показано на рис. 2.3, элементарный объем с размерами ребер dx, dy и dz. Сила тяжести равна произведению массы элемента на проекцию ускорения свободного падения на ось Ох

Равнодействующая сил давления в проекции на ось Ох равна:

Равнодействующая сил трения с учетом уравнения (1.11) в проекции на ось Ох составляет:

Суммируя получим проекцию равнодействующей всех сил на ось Ох, приложенных к объему:

(а)

Согласно второму закону механики эта равнодействующая равна произведению массы элемента на проекцию ее ускорения на ось Ох и учитывает силы инерции:

(б)

Приравнивая правые части (а) и (б) и производя сокращения, получим уравнение движения вдоль оси Ох:

В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости уравнение движения в проекциях на оси Ox, Oy и Oz соответственно имеет вид:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Или в векторном виде

(2.8)

Уравнения (2.5) – (2.8) называют уравнениями Навье-Стокса. Член, стоящий в левой части уравнений, представляет собой полную производную от скорости по времени

(2.9)

15. Дифференциальное уравнение энергии.

При выводе уравнения будем полагать, что движущаяся жидкость однородна и изотропна, ее физические свойства постоянны, энергия деформации мала по сравнению с изменением внутренней тепловой энергии. Выделим в потоке жидкости неподвижный относительно координатной системы элементарный объем, с ребрами dx, dy, dz (рис. 2.2).

Через грани этого объема теплота переносится конвекцией и теплопроводностью, так как суммарный вектор плотности теплового потока с учетом уравнений (1.4) и (1.9) равен:

(2.3)

В общем случае в рассматриваемом объеме может выделяться (или поглощаться) теплота внутренними источниками (теплота химических реакций, джоулево тепло при прохождении электрического тока) плотностью q_V вт/м³.

В направлении оси Ox в элементарный объем вносится теплота

(а)

Через противоположную грань отводится теплота

Ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, получаем для отводимой теплоты

(б)

Вычитая (б) из (а), получим результирующий подвод тепла в направлении оси Ox

(в)

Аналогичным образом для направлений по осям Oy и Oz имеем:

(г)

(д)

Суммируя равенства (в), (г) и (д), получим результирующий подвод тепла к элементарному объему по всем трем направлениям

(е)

За счет внутренних источников тепла в элементарном объеме выделится теплота

(ж)

Суммируя (е) и (ж), получим общее количество тепла, подведенное к элементарному объему dV за промежуток времени d

(з)

Это подведенное тепло обусловливает изменение температуры жидкости в объеме dV и равно изменению энтальпии данного объема во времени

(и)

Приравнивая (з) и (и), получим

(к)

Спроектируем на оси декартовой системы координат уравнение (2.3)

Подставим эти проекции плотности теплового потока в формулу (к)

,

где оператор Лапласа.

Если в этой формуле учесть соотношение (2.2) и разделить левую и правую части на c_p, то получим окончательно дифференциальное уравнение сохранения энергии

(2.4)

где коэффициент температуропроводности, м²/сек.