7. Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности и температуропроводности.

По закону Фурье плотность потока тепла, переносимого теплопроводностью, прямо пропорциональна градиенту температуры

, (1.9)

где  – коэффициент теплопроводности, вт/мград.

Знак минус в правой части равенства необходим, так как вектора градиент температуры и плотность теплового потока лежат на одной прямой, если  скалярная величина, но направлены в разные стороны. Коэффициент теплопроводности изменяется для известных материалов в диапазоне от 10^-3до10² вт/мград. Вещества, у которых 0,25 вт/мград, называют теплоизоляторами. У анизотропных тел коэффициент теплопроводности по разным направлениям оказывается разным, в отличие от изотропных тел, и вектора плотности потока тепла и градиента температуры не лежат на одной прямой. В общем случае коэффициент теплопроводности зависит от температуры. У чистых металлов (кроме алюминия) с ростом температуры коэффициент теплопроводности уменьшается. У газов, наоборот, возрастает. Для большинства капельных жидкостей, исключая воду в диапазоне температур от 0 до 150^оС, с ростом температуры коэффициент теплопроводности уменьшается. Чем больше компонентов входит в смесь, тем меньше ее коэффициент теплопроводности. В отличие от теплоемкости смеси, коэффициент ее теплопроводности не обладает свойством суммируемости (аддитивности) в соответствии, например, с массовыми долями компонентов, входящими в смесь. Для влажного материала коэффициент теплопроводности выше, чем коэффициент теплопроводности сухого материала и воды. По закону Фика плотность потока массы отдельного компонента смеси, переносимого молекулярной диффузией, прямо пропорциональна градиенту концентрации этого компонента

, (1.10)

где D_i – коэффициент диффузии i-того компонента смеси, м²/с.

Для обычных газовых смесей при атмосферном давлении коэффициенты диффузии имеют значения от 0,110^-4 до 10^-4 м²/с и уменьшаются с увеличением давления смеси. У капельных жидкостей коэффициенты диффузии меньше, чем у газов, и имеют значения от 0,510^-4 до 210^-9 м²/с. В отличие от газов, коэффициенты диффузии в жидкостях часто существенно изменяются с концентрацией. Коэффициенты диффузии в твердых телах изменяются в диапазоне от 10^-6 до 210^-14 м²/с. С ростом температуры коэффициенты диффузии увеличиваются.

8. Краевые условия.

Частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, включают в себя:

1) геометрические условия, по которым задаются в конкретной задаче форма и размеры тела, в котором протекает процесс теплопроводности;

2) физические условия, по которым задаются физические свойства материала (плотность, коэффициент теплопроводности и т.п.) тела, а также закон распределения внутренних источников теплоты;

3) начальные условия состоят в задании для нестационарных процессов теплопроводности поля температуры внутри тела в начальный момент времени

T=f (x, y, z) при =0;

4) граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Граничные условия первого рода состоят в задании значений температуры в точках границы тела, внутри которого разыскивается поле температуры

T_C=f (x_Г, y_Г, z_Г),

где T_C – температура на поверхности тела;

x_Г, y_Г, z_Г – координаты точек поверхности тела.

В частном случае температура в точках границы тела может быть постоянной T_C = const в течение всего процесса теплопроводности.

Граничные условия второго рода состоят в задании значений плотности теплового потока в точках границы тела, внутри которого разыскивается поле температуры

q_C=f (x_Г, y_Г, z_Г).

В простейшем случае плотность теплового потока на поверхности тела и во времени остается постоянной q_C = const.

Граничные условия третьего рода состоят в задании в точках границы тела связи между значениями плотности теплового потока и температуры. Эта связь представляет собой закон теплоотдачи Ньютона-Рихмана

q_C = (T_C – Т_Ж). (3.5)

При этом задаются температура окружающей тело жидкости Т_Ж вдали от него и коэффициент теплоотдачи  на границе тела и омывающей его жидкости. Величины q_C и T_C при этом не заданы, являясь искомыми величинами. По закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени, вследствие теплоотдачи должно равняться количеству теплоты, подводимому к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутреннего объема тела, т.е. по закону Фурье

(3.6)

где n – нормаль к поверхности тела; индекс «с» указывает на то, что температура и градиент температуры относятся к поверхности тела (при n=0).