Закон Стефана — Больцмана

Лю́двиг Бо́льцман — австрийский физик-теоретик, основатель статистической механики и молекулярно-кинетической теории. Член Австрийской академии наук (1895), член-корреспондент Петербургской академии наук (1899) и ряда других.

Закон Стефана — Больцмана — интегральный закон излучения абсолютно чёрного тела. Определяет зависимость мощности излучения абсолютно чёрного тела от его температуры.

В словесной форме закон может быть сформулирован следующим образом:

Полная объёмная плотность равновесного излучения и полная испускательная способность абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его температуры.

Математически выражается в следующей форме для объёмной плотности равновесного излучения  :

где   — постоянная Стефана — Больцмана, которая может быть выражена через фундаментальные константы путём интегрирования по всем частотам формулы Планка:

где   — постоянная Планка,   — постоянная Больцмана,   — скорость света.

Численно постоянная Стефана — Больцмана равна:

 Дж·с⁻¹·м⁻² · К⁻⁴.

Закон открыт сначала эмпирически Й. Стефаном (Йозеф Стефан — австрийский физик и математик. Член Австрийской академии ) в 1879 году, и через пять лет выведен теоретически Л. Больцманом в предположении пропорциональности плотности энергии излучения его давлению  .

Важно отметить, что закон говорит только об общей излучаемой энергии. Распределение энергии по спектру излучения описывается формулой Планка, в соответствии с которой в спектре имеется единственный максимум, положение которого определяется законом Вина.

Закон смещения Вина

Зако́н смеще́ния Ви́на даёт зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного тела достигает своего максимума от температурычёрного тела.

Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году, путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению.

λ_max = b/T ≈ 0,002898 м·К × T ⁻¹ (K),

где T — температура, а λ_max — длина волны с максимальной интенсивностью.

Коэффициент b, называемый постоянной Вина, в системе СИ имеет значение 0,002898 м·К.

Для частоты света   (в герцах) закон смещения Вина имеет вид:

Где α ≈ 2,821439…  — постоянная величина (корень уравнения  ),

k — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, T — температура (в кельвинах).

Вывод закона

Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для абсолютно чёрного тела, записанного для длин волн:

.

Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по   и приравнять дифференциал к нулю:

.

Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда   или когда  , что выполняется при  . Однако, оба эти случая дают минимумфункции Планка  , которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

.

Используя замену переменных   , данное уравнение можно преобразовать к виду

.

Численное решение этого уравнения даёт:

Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума, как

где температура дана в кельвинах, а   — в метрах.