3. Метод золотого сечения.

  При построении процесса оптимизации стараются сократить объем вычислений и время поиска. Этого достига­ют обычно путем сокращения количества вычислений (или измерений — при проведении эксперимента) значений целевой функции /(х). Одним из наиболее эффективных методов, в которых при ограниченном коли­честве вычислений f(x) достигается наилучшая точность, является ме­тод золотого сечения. Он состоит в построении последовательности отрез­ков [a₀,bo]>[^ab&i]> • • • .стягивающихся к точке минимума функции/(ж). На каждом шаге, за исключением первого, вычисление значения функции /(х) проводится лишь в одной точке. Эта точка, называемая золотым сечением, выбирается специальным образом.

Пример:

 Для оценки сопротивления дороги движению автомобиля при скорости г; км/ч можно использовать эмпирическую формулу

 (для шоссе). Определить скорость, при которой сопро­тивление будет минимальным.

 

Решение.

Это простейшая задача одномерной оптимизации. Здесь сопротивление f(v) — целевая функция, скорость v — проектный па­раметр. Данную задачу легко решить путем нахождения минимума с помощью вычисления производной, поскольку f(v) — функция диффе­ренцируемая. Действительно,

Проиллюстрируем на этой простейшей задаче метод золотого сечения. Первоначально границы интервала неопределенности примем равными a = = 5, b = 20. Результаты вычислений представим в виде (табл. 6.1). Здесь обозначения аналогичны используемым в структурограмме (см. рис. 6.3). Расчеты проводятся в соответствии со структурограммой с погрешностью

П риведем решение для первого этапа:

 

 

 

Замечание. Согласно табл. 6.1 заданная точность е будет достигну­та уже на третьем шаге:

Однако определить достижение заданной точности на третьем шаге мож­но только тогда, когда известно точное решение г; = 10 км/ч. Но в этом

 

случае вообще нет смысла в проведении численного расчета. Поэтому в реальном расчете нужно выполнить большее число шагов до выполнения условия (6.11).

 

Для рассмотренного выше примера (6.12) дает N = 6.

 

4. Метод Ньютона.

Задача одномерной оптимизации дифференцируемой функции f(x) сводится к нахождению критических точек этой функции, определяемых уравнением

Когда уравнение (6.13) нельзя решить аналитически, для его решения можно применить численные методы. В этом случае говорят о методе Ньютона решения задачи опти­мизации.

Пример. Решим методом Ньюто­на задачу оптимизации из п. 3.

Решение. Заметим, что функция

является

к вадратичной, т. е. ее разложение вида (6.15) представляет собой точное ра­венство: f(v) = φ(v). Поэтому первая же итерация по методу Ньютона и* = с\ при любом начальном приближении C₀ даст точное решение задачи. Второе  приближение совпадет с первым: с₂ = с₁, поскольку f ' (c₁)= 0. Таким образом, после двух итераций будет выполнено условие завершения итерационного процесса.

 

 

 

 

 

 

§ 3. Многомерные задачи оптимизации

1. Минимум функции нескольких переменных.

Минимум дифференцируемой функции многих переменных и = f(x₁, х₂,,..., х_п) можно найти, исследуя ее значения в критических точках, ко­торые определяются из решения системы дифференциальных уравнений

Пример. Задача об определении опти­мальных размеров контейнера объем которого равен 1 м³. Задача свелась к минимизации полной поверхности контейнера, которая в данном случае является целевой функцией

Решение. В соответствии с (6.16) получим систему

Таким образом, оптимальной формой контейнера в данном случае является куб, длина ребра которого равна 1 м.

Рассмотренный метод можно использовать лишь для дифференци­руемой целевой функции. Но и в этом случае могут возникнуть серьезные трудности при решении системы нелинейных уравнений (6.16).