Свойства ф-ции распределения:

Свойство 1. Значение ф-ции распределения принадлежит отрезку [0; 1]:

0 <= F(x) <= 1

Свойство 2. F(x) – неубывающая ф-ция, т.е.

F(x2) >= F(x1), если x2 > x1.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная вел-на примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению ф-ции распределения на этом интервале:

P(a <= X < b) = F(b) – F(a)

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная вел-на X примет одно определенное значение, равна нулю.

Свойство 3. Если возможные значения случайной вел-ны принадлежат интервалу (a, b), то:

1) F(x) = 0 при x <= a

2) F(x) = 1 при x >= b

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной вел-ны расположены на всей оси x, то справедливы следующие предельные соотношения:

Непрерывную случайную вел-ну можно также задать, используя другую ф-цию, к-рую называют плотностью распределения или плотностью вероятности.

15. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ЕЕ СВОЙСТВА.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной вел-ны Х называют ф-цию f(x) – первую производную от ф-ции распределения F(x):

f(x) = F’(x)

Для описания распределения дискретной случайной вел-ны плотность распределения неприменима.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная вел-на Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотностей распределения, взятому в пределах от a до b:

Геометрически теорему м. истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная вел-на примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, кривой распределения f(x) и прямыми x = a и x = b.

Зная плотность распределения f(x), можно найти ф-цию распределения F(x) по формуле:

Свойства плотности распределения

Свойство 1. Плотность распределения – неотрицательная ф-ция:

.

Геометрически это св-во означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, располагаются либо над осью Ox, либо на этой оси.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от –∞ до ∞ равен единице:

16. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ДИСПЕРСИЯ, СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения к-рой принадлежат отрезку [a, b], называют определенный интеграл

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox, то

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание ее отклонения.

Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a, b], то

если возможные значения принадлежат всей оси Х, то

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством:

17. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Нормальное распределение

имеет нормальное распределение, если

Математическое ожидание

Дисперсия

18. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Непрерывная случайная величина считается равномерно распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид: (напишите вручную. В тетради на последней странице)

19. ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей, которое описывается дифференциальной ф-цией

где λ – постоянная положительная вел-на.

Математическое ожидание

Дисперсия

20. ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК СОБЫТИЙ.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в сл. момент времени.

Простейшим( Пуассоновским)- называют поток событий, который обладает 3 свойствами:

1)стационарностью(вероятность появления k-событий зависит только от числа k и от длительности промежутка времени t)

2)отсутствием последствия (предыстория потока не влияет на вероятность появления события в ближайшем будущем)

3)ординарностью (появление 2х или более событий за малый промежуток времени практически невозможен)

Интенсивность потока ( ) — среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Учебник: Математика, часть 2 (под редакцией Р.Ш. Марданова).