Теорема

Вероятность появления хотя бы одного события , независимых в совокупности, равна разности м/у единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

Док-во. Обозначим ч/з А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий . Событие А и события (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим:

или .

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного их этих событий

8. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ (ДОК.).

Теорема. Вероятность события А, к-рое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующих условную вероятность события А:

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Док-во. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий . Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий B1A, B2A, …, BnA. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим

(1)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

Подставив правые части этих равенств в соотношение (1), получим формулу полной вероятности.

9. Вывод формулы байеса.

Будем рассматривать полную группу несовместных событий А1,А2…Аn,вероятности появления которых Р(А1),Р(А2)…Р(Аn).

Событие В может произойти только вместе с каким-либо из событий А1,А2…Аn, которые будем называть гипотезами.

Условные вероятности осуществления этих гипотез- предположение, что событие В произошло определяется формулой Байеса:

Доказательство:

Пусть событие   происходит одновременно с одним из   несовместных событий  . Требуется найти вероятность события  , если известно, что событие   произошло.

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий можно написать

Откуда

или

(3.2)

Формула (3.2) носит название формулы Байеса.

10. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ, ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА, ФОРМУЛА ПУАССОНА.

Повторными независимыми испытаниями называют испытания, удовлетворяющие следующим условиям:

1) количество n испытаний конечно;

2) вероятность осуществления случайного события A в каждом из испытаний постоянна:   .

11. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, МНОГОУГОЛЬНИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, МОДА.

Величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать любые, заранее неизвестные значения. Случайная величина называется дискретной, если ее возможное значение есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями ( между двумя соседними значениями нет возможных значений). Другими словами возможные значения дискретной случайной величины можно пронумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным( множества всех возможных значений называют счетным)

Из определения следует, что каждому значению Хк соответствует вероятность Рк. Функциональная зависимость вероятности Рк от Хк называют законом распределения вероятностей дискретной случайной величины Х. Его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графиче-ски.

При табличном задании закона распре-деления дискретной случайной вел-ны первая строка таблицы содержит возмож-ные значения, а вторая – их вероятности.

Приняв во внимание, что в одном испы-тании случайная вел-на принимает одно и только одно возможное значение, заключа-ем, что события X=x1, X=x2, …, X=xn обра-зуют полную группу; следовательно сумма вероятностей второй строеи таблицы равна единице.

В целях наглядности закон распределения дискретной случайной вел-ны можно изобразить графически, для чего в прямо-угольной с-ме координат строят точки (xi, pi), а затем соединяют их отрезками пря-мых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Закон распределения может быть задан аналитически. Событие Хi образует полную группу событий. Значение случайной величины Хi, имеющее наибольшую вероятность называют модой.

12. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. СВОЙСТВА.

Мат. ожидание случайной величины

Пусть

Тогда мат. ожидание ξ:

,

если ряд сходится, т.е. если

Если ряд расходится, мат. ожидания не существует.

Мат. ожиданием называется сумма произведений всех ее значений на соответствующую вероятность.

Мат. ожидание – не случайная вел-на.

Свойства мат. ожидания:

1) Мат. Ожиданиепостоянной величины равно этой постоянной:

2) Постоянный множитель можно выносить за знак МО

3) МО суммы случ. величин равно сумме МО этих величин

4) Если ξ и η – независимы, то МО произведения случ.вел. равно произведению их МО

13. ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. СВОЙСТВА.

Дисперсия случайной величины

Дисперсией случайной величины ξ называется МО квадрата отклонения ее от МО самой величины

Свойства дисперсии:

1)

2) тогда и только тогда, когда ξ = const

3) постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возводя ее при этом в квадрат.

4) ,Дисперсия суммы равна сумме дисперсий

14. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА.

Ф-цией распределения называют ф-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная вел-на X в рез-те испытаний примет значение, меньшее x, т.е.

F(x) = P(X < x)

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная вел-на примет значение, к-рае изображается на числовой оси точной, лежащей левее точки x.

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной вел-ны:

Случайную вел-ну называют непрерывной, если ее ф-ция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая ф-ция с непрерывной производной.